Dominio di una funzione

Se hai dubbi sul concetto di dominio di una funzione e se cerchi aiuto per lo svolgimento degli esercizi, niente paura!

Questo articolo ti mostrerà in maniera esaustiva come dedurre il dominio di una funzione dal suo grafico, come trovare il dominio di funzioni irrazionali, logaritmiche ed esponenziali, oltre al dominio di funzioni goniometriche e definite a tratti.

Osserviamo, dunque, come risolvere nel dettaglio alcuni esercizi suddivisi secondo queste tipologie.

Dedurre il dominio di una funzione dal suo grafico

Esercizio 1

Dedurre dal grafico della seguente funzione il suo dominio:

Svolgimento

Dato il grafico di una funzione vediamo quali sono i punti per cui la funzione è definita, ovvero i punti sulle coordinate x, dove il grafico è tracciato. In questo caso, come possiamo notare, l’unico punto in cui non abbiamo tracciato il grafico è il punto con coordinata x = -1. Il dominio di questa funzione sarà:

D : x \neq 1

Volendo possiamo esprimere il dominio anche come insieme, in questo caso sarà:

D: (-\infty,-1) \cup (-1, +\infty)

Ricordiamo che con le parentesi tonde indichiamo che i punti estremi sono esclusi dal dominio, mentre con le parentesi quadre indichiamo che gli estremi sono inclusi.


Per i più curiosi-> Il grafico rappresenta la seguente funzione:

f(x): \mathbb{R} - \{-1\} \to \mathbb{R}^+

f(x) = |x^2-1| \quad \mathrm{con} \ x\neq -1

Esercizio 2

Dato il grafico di questa funzione, qual è il suo dominio?

Svolgimento

Vediamo per quali valori della x il grafico ammette valori nella y.
Come possiamo vedere, la seguente curva è tracciata solamente per le x comprese tra -1 e 1, con valori estremi compresi.

Il dominio della funzione è:

D: -1 \leq x \leq 1

Il dominio espresso in modo insiemistico è:

D:[-1,1]

La funzione descritta nel grafico è la semicirconferenza del semipiano positivo, con centro l’origine e raggio 1.


Per i più curiosi-> Il grafico rappresenta la seguente funzione:

f(x): [-1,1] \to [0,1]

f(x) = \sqrt{1-x^2}

Esercizio 3

Dato il seguente grafico di funzione, dire qual è l’insieme di definizione.

Svolgimento

Vediamo per quali valori della x abbiamo tracciato il grafico.
La funzione rappresentata è definita a tratti.

Infatti, la prima è una retta definita tra i valori -2 e -1, ma, poiché i pallini sono vuoti, gli estremi non sono inclusi.
Anche la seconda è una retta, essa è definita tra i valori 2 e 3, in questo caso i pallini sono pieni, quindi gli estremi sono inclusi.

Il dominio totale sarà l’unione del dominio delle due funzioni, ovvero:

D: -2 < x < -1 \cup 2 \leq x \leq 3

Se volessimo rappresentarlo come insieme, allora il dominio lo scriveremmo come:

D: (-2,-2) \cup [2,3]

Per i più curiosi-> Il grafico rappresenta la seguente funzione:

f(x) = \begin{cases}
   -x+1, & -2 < x < -1 \\
   2x, & 2 \leq x\leq 3
\end{cases}

Dominio di funzioni irrazionali

Esercizio 1

Trovare il dominio della seguente funzione:

y = \sqrt{\frac{x^2 -4}{x+3}} + \sqrt[3]{x} + 4

Svolgimento

Possiamo vedere questa funzione come somma di più funzioni, di cui due irrazionali. Il dominio della funzione nel suo complesso sarà dato quindi dall’intersezione dei domini delle singole funzioni da cui è composta.
Data una funzione irrazionale, il dominio dipenderà dall’indice della radice, infatti:

• Se l’indice è pari (ricordiamo che possiamo rappresentare un numero pari come 2k)

\sqrt[2k]{f(x)}

allora il dominio sarà dato dall’intersezione del dominio di f(x) e dell’insieme di tutte le x tali che:

f(x) \geq 0

• Se l’indice è dispari (ricordiamo che possiamo rappresentare un numero dispari come 2k + 1)

\sqrt[2k+1] {f(x)}

allora il dominio coinciderà semplicemente con il dominio di f(x).

Studiamo il dominio della prima funzione:

\sqrt{\frac{x^2-4}{x+3}}

Questa funzione è un’irrazionale fratta con indice pari, il suo dominio sarà dunque:

\frac{x^2-4}{x+3}\geq 0

Questa è una disequazione fratta; per risolverla imponiamo numeratore maggiore o uguale a 0 e denominatore maggiore di 0; le risolviamo e successivamente, tramite lo studio dei segni, troviamo quei valori per cui la frazione è maggiore o uguale a 0.

• Numeratore:

x^2-4 \geq 0

Risolviamo l’equazione associata:

x^2 - 4 \Rightarrow x^2 = 4 

Effettuando la radice quadrata da ambo le parti le soluzioni della disequazione sono +2 e -2.

Noi vogliamo che il numeratore sia positivo, prendiamo quindi i valori esterni:

x\le-2\ \cup\ x\geq2

• Denominatore: questo è una semplice disequazione lineare, portiamo il 3 a destra, cambiamo segno e otteniamo:

x> -3

Facciamo ora la tabella dei segni:

Poiché vogliamo i valori positivi, le soluzioni saranno gli intervalli in cui nella riga “Risultato” è presente il segno +:

-3< x\le-2\ \cup\ x\geq2

La seconda funzione ∛x è una funzione irrazionale con indice dispari; quindi, il dominio sarà semplicemente il dominio di x, il quale coincide con tutto l’insiemeR.

Il dominio della nostra funzione sarà dato dall’intersezione dei domini delle due funzioni studiate, ovvero:

D:\ -3< x\le-2\ \cup\ x\ \geq 2

Dominio di funzioni logaritmiche ed esponenziali

Esercizio 1

Trovare il dominio della seguente funzione:

y=\ln{\left(\ln{x}-1\right)}

Svolgimento

Il dominio di una funzione logaritmo In[f(x)] è l’insieme di tutte le x tali che:

f\left(x\right)>0

In questo caso abbiamo un logaritmo di logaritmo.
Per semplicità, quando abbiamo funzioni composte, immaginiamo come se queste fossero delle matriosche:

Per trovare il dominio, quindi, troviamo prima quello della funzione più interna In(x) – 1 per poi metterlo a sistema con quello generale di In(In x – 1).

Studiamo la prima:

\ln{\left(x\right)}-1

Il dominio sarà:

x > 0

Studiamo la seconda:

\ln{\left(\ln{x}-1\right)}

Il dominio sarà:

\ln{x}-1>0

Spostiamo -1 a destra cambiando segno:

\ln{x}>1

Per risolverla applichiamo la funzione esponenziale a entrambi i membri:

e^{\ln{x}}>e^1

Usiamo la proprietà dei logaritmi:

e^{\ln{x}}=x

Otteniamo:

x\ >\ e

Il dominio della funzione sarà dato dalla soluzione del sistema dei due domini:

x = \begin{cases}
   x>0 \\
   x > e
\end{cases}

Facciamo la tabella per individuare l’intersezione:

Quindi il dominio finale è:

x > e

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Dominio di funzioni goniometriche

Esercizio 1

Trovare il dominio della seguente funzione:

y=\sqrt{2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}}

Svolgimento

La funzione proposta è una irrazionale goniometrica. Il dominio di una funzione irrazionale con indice pari è:

\sqrt{f\left(x\right)}\rightarrow D:f\left(x\right)\geq0

Dobbiamo risolvere la seguente disequazione:

2\sin{x}\cos{x}-\sin{x} \geq0

Prima di tutto raccogliamo sin(x):

\sin{x}\left(2\cos{x}-1\right)\geq0

Abbiamo in questo modo fattorizzato la nostra disequazione in due parti, che risolveremo separatamente.

Studiamo prima di tutto:

\sin{x}\geq0

Costruiamo la circonferenza goniometrica:

La funzione sin(x) è positiva per:

0+2\pi k\le x\le\pi+2\pi k

Poiché la funzione seno è periodica di periodo 2π , la soluzione sarà:

2\pi k\le x\le\pi+2\pi k,k\in Z

Studiamo ora la seconda disequazione:

2\cos{x}-1 \geq0

Portiamo -1 a destra e cambiamo segno:

2\cos{x}\geq1

Dividiamo ambo le parti per il coefficiente 2:

\cos{x}\geq\frac{1}{2}

Ricordiamo che:

\cos{\left(x\right)}=\frac{1}{2}

quando:

x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \ \cup\ x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k

Dunque, rappresentando sulla circonferenza goniometrica, cerchiamo le parti di arco che soddisfano la disequazione:

La soluzione di questa disequazione è:

2\pi k\le x\le\frac{\pi}{3}+2\pi k \ \cup

\cup\ \frac{5\pi}{3}+2\pi k\le x\le2\pi+2\pi k

Rappresentiamo ora le soluzioni delle due disequazioni e facciamo il grafico dei segni:

Poiché noi vogliamo che l’argomento della radice sia maggiore o uguale di 0, la soluzione è:

2\pi k\le x\le\frac{\pi}{3}+2\pi k\ \ \cup

\cup\ \pi+2\pi k\le x\le\frac{5}{3}\pi+2\pi k

Dominio di una funzione definita a tratti

Esercizio 1

Trovare il dominio della seguente funzione:

x = \begin{cases}
   \ln(x+4) &\text{se } x\geq 0 \\
   \frac{1}{\sqrt{x^2 -16}} &\text{se } x<0
\end{cases}

Svolgimento

La funzione proposta è definita a tratti, il dominio sarà dato dall’unione dei domini delle singole funzioni da cui è composta.
Dobbiamo inoltre tener conto dell’ulteriore vincolo imposto, ovvero x ≥ 0 nella prima e x < 0 nella seconda.

Studiamo la prima:

\ln{\left(x+4\right)},x\geq0

Il dominio di una funzione logaritmo In[f(x)] è dato dall’insieme delle x tale che:

f\left(x\right)>0

Dobbiamo risolvere quindi la seguente disequazione:

x + 4 > 0

Portando il 4 a destra e cambiando di segno, otteniamo:

x > -4

Facciamo il grafico e troviamo l’intersezione tra la soluzione ottenuta e il vincolo x ≥ 0;

La soluzione sarà dunque:

x \geq0

Studiamo la seconda:

\frac{1}{\sqrt{x^2-16}},\ x<0

Abbiamo una funzione fratta irrazionale con indice pari. Dato che il radicale si trova al denominatore, il dominio sarà:

x^2-16>0

Troviamo, prima di tutto, le soluzioni dell’equazione:

x^2-16=0\Rightarrow x^2=16\ \Rightarrow

\Rightarrow x= \pm4

Poiché il segno della disequazione è > 0, dobbiamo prendere valori esterni, otteniamo:

x<-4\ \cup\ x>4

Facciamo il grafico dell’intersezione tra questa soluzione e il vincolo x < 0:

La soluzione è:

x<-4

Il dominio della funzione iniziale sarà dato dall’unione delle soluzioni date, ovvero:

x<-4\ \cup\ x\geq 0

Le dimostrazioni degli esercizi qui svolti sono utili per studiare dettagliatamente tutto ciò che riguarda il dominio di una funzione, uno dei concetti fondamentali dell’analisi matematica che consente di stabilire le condizioni di esistenza della funzione stessa.

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