Disegnare il grafico di una funzione

Scopriamo insieme in questa lezione come disegnare il grafico di una funzione analizzandone la sua forma analitica per poterla poi trasformare nella sua corrispondente grafica.

Disegnare il grafico di una funzione attraverso trasformazioni geometriche

Esercizio 1

Dato il grafico della funzione y = x²:

Disegnare il grafico della funzione:

f(x) = (x-1)^2

Svolgimento

Dato il grafico della funzione ‘base’, per ottenere la funzione voluta proviamo a sfruttare qualche trasformazione geometrica.
Come possiamo notare, la funzione f(x) è ottenuta dalla funzione di partenza y attraverso una traslazione orizzontale, agendo sulla variabile x e “sottraendole” un’unità.

Ricordiamo un attimo cosa è una traslazione: una traslazione è una trasformazione geometrica che sposta tutti i punti della funzione di una distanza fissa, nella stessa direzione.
Possiamo scriverla nel seguente modo usando i vettori:

T_{\vec{v}}(\vec{x}): \vec{x}' \to \vec{x} + \vec{v}

Ovvero, supponendo di voler traslare la curva di un vettore (x₀,y₀), le coordinate dei punti della nuova curva saranno:

\begin{cases}
x' = x + x_0 \\
y' = y + y_0
\end{cases}

Traslare una curva di un vettore (x₀,y₀) equivale ad effettuare le seguenti sostituzioni alla funzione di partenza, agendo su entrambe le variabili:

x \to x\ {\color{red} -\ x_0} \\
y \to y \color{blue} - y_0

Nel nostro caso le due funzioni sono:

y = x^ 2 \\
y = (x{\color{red}{\ -\ 1}})^ 2

Notiamo che per passare da una curva all’altra è stata effettuata la seguente sostituzione:

x \to x\ {\color{red} -\ 1} \\
y \to y + {\color{blue} 0}

Da qui deduciamo che, mentre la y è rimasta invariata, l’unica variabile su cui si è agito è stata la x, a cui è stata sottratta un’unità.
Tutto ciò porta ad affermare che:

- x_0 = -1 \to x_0 = 1 \\
-y_0 = 0 \to y_0 = 0

Ciò significa che è stata effettuata una traslazione di vettore:

\vec{v} = (1,0)

Graficamente quindi dobbiamo semplicemente ‘spostare’ la funzione originale a destra di 1, senza effettuare alcuna traslazione in verticale:

Approfondimento-> Ogni qual volta venga aggiunta o sottratta una costante alla sola coordinata x di una funzione base (come nel caso appena citato), per ottenere la trasformazione ti basterà traslare orizzontalmente il grafico verso sinistra se la costante è positiva (additiva), verso destra se è negativa (o sottrattiva, come nell’esercizio appena svolto).

Esercizio 2

Dato il grafico di questa funzione y = x²:

Disegnare il grafico della funzione:

f(x) = -2(x-1)^2 +2

Svolgimento

Vediamo come, a partire dalla funzione originale y, attraverso una serie di trasformazioni geometriche, arriviamo alla funzione f(x).
Notiamo come, in maniera analoga all’esercizio precedente, prima di tutto possiamo effettuare una traslazione di vettore:

\vec{v} = (1,0)

In questo modo otteniamo la funzione:

g(x) = (x-1)^2

Successivamente notiamo che la funzione f(x) presenta un segno meno davanti all’espressione quadratica, che possiamo intendere come una trasformazione che ci porti alla funzione intermedia:

-(x-1)^2

ovvero

-g(x)

In geometria analitica, applicare un meno davanti all’espressione intera di una funzione, equivale a “specchiare” il suo grafico rispetto all’asse delle x, che funge così da asse di simmetria per la trasformazione:

Notiamo inoltre la presenza di un fattore moltiplicativo 2, da applicare ora alla funzione a cui siamo giunti:

-(x-1)^2 \to - \textcolor{red}{2}(x-1)^2

La trasformazione geometrica che ci può aiutare in questo caso è una dilatazione.
La dilatazione è una particolare trasformazione che dilata o contrae le distanze e di conseguenza dilata e contrae anche le funzioni a cui è applicata, a seconda che il coefficiente moltiplicativo sia maggiore (dilatazione) o minore di 1 (contrazione).

La dilatazione (con centro nell’origine) trasforma le coordinate nel seguente modo:

\begin{cases}
x' = kx \\
y' =jy
\end{cases}

Applicare una dilatazione di coefficienti k e j (sempre positivi) ad una curva equivale ad effettuare le seguenti sostituzioni alla funzione di partenza, agendo su entrambe le variabili:

x \to \frac{x}{\color{red}{k}}

y \to \frac{y}{\color{blue}{j}}

Nel nostro caso le due funzioni protagoniste della trasformazione sono:

\begin{align*}
y = - (x-1)^2\\
y = - \textcolor{blue}{2} (x-1)^ 2
\end{align*}

Qui bisogna fare attenzione. Il coefficiente 2 è un fattore che agisce sulla y, non sulla x!

y \to \textcolor{blue}{2} y

Per questo motivo, infatti, tale fattore ha una correlazione con il fattore j che vogliamo trovare:

\frac{1}{j} = 2 \to j = \frac{1}{2}

Mentre il coefficiente k è pari a 1 in quanto la variabile x non viene toccata dalla dilatazione.

Essendo il coefficiente j minore di 1, graficamente avremo una contrazione verticale lungo le coordinate y, facendo rimanere invariate le coordinate x:

Infine, dobbiamo considerare la costante additiva +2:

f(x) = -2(x-1)^2 \color{red} +2

Aggiungere o sottrarre una costante ad una funzione equivale a traslare verticalmente il suo grafico di un valore pari alla costante stessa.

Notiamo come il fattore additivo agisca sulla sola y, lasciando intatta la x.
In caso la costante sia additiva, come in questo caso, il grafico traslerà verso l’alto mantenendo inalterata la sua forma. Qualora fosse stata una costante sottrattiva, avremmo dovuto traslare il grafico verso il basso.

Essendo la costante pari a +2, trasliamo la funzione in alto di un vettore pari a:

t_1 = (0,2)

Dopo questa serie di trasformazioni siamo riusciti ad ottenere finalmente la funzione f(x) a partire dalla funzione di partenza:

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Esercizio 3

Dato il grafico di questa funzione y = e^x:

Disegnare il grafico della funzione:

f(x) = - e^{|x|} +1

Svolgimento

Attraverso una serie di trasformazioni geometriche, vediamo come trasformare la funzione y nella funzione f(x).

Prima di tutto, vediamo come ottenere il segno meno davanti alla funzione esponenziale.
Come spiegato negli esercizi precedenti, possiamo ottenere tale trasformazione attraverso una simmetria assiale rispetto all’asse delle x.

Graficamente dobbiamo ribaltare la funzione lungo l’asse delle ascisse, che fungerà appunto da asse di simmetria:

Ora vediamo cosa vuol dire trasformare graficamente:

x \to |x|

Ricordiamo la definizione di valore assoluto di x:

|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\
 -x & \text{se } x <0
\end{cases}

Applicare il valore assoluto alla variabile x equivale, in termini pratici, a cancellare la parte di funzione presente nel semipiano negativo delle x e poi “raddoppiare” (o duplicare se vogliamo) la parte di curva presente nel semipiano destro positivo delle x, usando l’asse y come asse di simmetria.

Ricorda che la porzione di disegno nel semipiano destro va conservata!
Nell’immagine seguente riportiamo questo tipo di trasformazione applicata alla funzione:

-e^x \to - e^{|x|}

Infine, per aggiungere la costante additiva +1, dobbiamo effettuare una traslazione di un’unità lungo l’asse positivo delle y, ovvero effettuare una traslazione di un vettore:

\vec{v} = (0,1)

In questo modo abbiamo trasformato la funzione y nella funzione:

f(x) = - e^{|x|} +1

Esercizio 4

Dato il grafico della funzione y = sin(x):

Disegnare il grafico della funzione:

f(x) = \sin |x| +2

Svolgimento

Attraverso trasformazioni geometriche, dobbiamo trasformare la funzione y nella funzione f(x).
Prima di tutto, notiamo la presenza del valore assoluto di x come argomento del seno.
La presenza del valore assoluto trasforma la funzione nel seguente modo:

\sin |x| = \begin{cases}
\sin x & \text{se } x\geq 0 \\
\sin(-x) & \text{se } x < 0
\end{cases}

Graficamente, dobbiamo dunque cancellare la parte di funzione presente nel semipiano negativo delle x e ‘duplicare’ la porzione destra, usando l’asse y come asse di simmetria, conservando la parte di grafico nel semipiano destro:

Ottenendo così la funzione intermedia:

\sin |x|

La costante additiva 2 possiamo ottenerla attraverso una traslazione di 2 unità lungo l’asse positivo delle y. Dobbiamo dunque effettuare la traslazione di vettore:

\vec{v} = (0,2)

Graficamente dobbiamo spostare la funzione in alto di due unità, ottenendo:

Con questa serie di trasformazioni siamo stati riusciti a disegnare la funzione f(x) a partire dalla funzione y in maniera grafica:

Esercizio 5

Tracciare il grafico della seguente funzione:

y = x^2 - 4 |x| -2 

Svolgimento

Possiamo osservare che la funzione proposta è ottenibile considerando la funzione di partenza:

y = x^2 - 4x -2 

E applicando il valore assoluto ad ogni variabile x presente nella formula:

y = \textcolor{red}{|x|}^2 - 4\textcolor{red}{|x|} -2 

Ricordiandoci che:

|x|^2 = x^2

La funzione a cui arriviamo è proprio la nostra:

y = x^2 - 4 |x| -2 

Ciò significa che il grafico di tale funzione è ottenibile dalla trasformazione:

x \to |x|

Il metodo da utilizzare per rappresentare tale trasformazione nel piano cartesiano è la stessa esposta nei precedenti esercizi, quindi dovremo:

• Cancellare la parte di funzione presente nel semipiano negativo delle x;
• ‘Duplicare’ la porzione destra, sfruttando l’asse y come asse di simmetria, conservando la parte di grafico del semipiano destro.

Approfondimento-> Esiste anche una strada alternativa per disegnare la funzione.
Notiamo come il valore assoluto trasforma la funzione in:

y = \begin{cases}
x^2 - 4x -2 & \text{se } x \geq 0 \\
x^2 + 4x -2 & \text{se } x < 0
\end{cases}

Ora osserviamo che la seconda parte della funzione è ottenibile dalla prima (e viceversa) attraverso la trasformazione:

x \to -x

La seguente trasformazione è una simmetria assiale con asse di simmetria coincidente con l’asse y. Ciò significa che basterà tracciare i grafici delle due parabole “specchiate” e poi conservare i tratti appartenenti rispettivamente a ciascun dominio descritto nella funzione:

Disegnare il grafico di una funzione attraverso manipolazioni algebriche

Esercizio 1

Tracciare il grafico, determinare il dominio, l’immagine e se esistono, massimi e minimi della seguente funzione:

y = \begin{cases}
-x^2 & \text{se } x <0 \\
\frac{3x}{x+2} & \text{se } x\geq 0
\end{cases}

Svolgimento

La funzione da studiare è definita a tratti; studiamo quindi separatamente le due parti da cui è composta.
La prima funzione, definita nell’ intervallo (- ∞, 0), è una parabola passante per l’origine con il vertice coincidente con l’origine, ha la concavità rivolta verso il basso e l’asse di simmetria coincidente con l’asse y. Possiamo disegnare dunque la prima parte di funzione presente nel semipiano negativo delle x:

Osserviamo che la curva disegnata rappresenta la metà sinistra della parabola descritta nel primo intervallo della funzione.

La seconda parte della funzione, definita nell’intervallo [0 , +∞) è una funzione omografica. Il suo dominio è dato da:

x + 2 \neq 0 \to x \neq -2

Ovvero dall’insieme R – {2}, ma il punto x = -2 non appartiene all’insieme di definizione imposto a priori, ovvero l’intervallo [0 , + ∞). Questo significa che il punto appena trovato non influirà sul grafico di questa parte di funzione.
Della funzione omografica è importante individuare anche l’asintoto, per poter capire meglio l’andamento della curva da disegnare e determinare eventuali estremi inferiori o superiori.

Ricordiamo che in una funzione omografica del tipo:

y = \frac{ax -b}{cx-d}

L’asintoto è dato dalla funzione:

y = \frac{a}{c}

ovvero nel nostro caso:

y = 3

Inoltre, la funzione interseca l’asse delle y nel punto x = 0.
Possiamo a questo punto disegnare la nostra funzione:

Il dominio della nostra funzione coincide con tutto l’insieme dei numeri reali.
Come puoi notare dal grafico, la funzione non presenta né punti di massimo, né punti di minimo, ma possiamo evidenziare come l’estremo inferiore (detto anche inf) sia – ∞, mentre il sup (estremo superiore) è 3, valore determinato dall’asintoto orizzontale y = 3.

L’immagine della funzione è data dall’insieme:

(-\infty,3)

Esercizio 2

Tracciare il grafico, determinare il dominio, l’immagine e dedurre se esistono massimi e minimi della seguente funzione:

y = (x+3)^2 -5

Svolgimento

Per disegnare la funzione, prima di tutto vediamo se possiamo ricondurla ha una figura nota (come una circonferenza, una parabola o un’elisse ad esempio).
Svolgiamo i calcoli e semplifichiamo, ottenendo la funzione:

y = x^2 + 6x + 4

L’equazione ottenuta rappresenta una parabola con l’asse di simmetria parallelo all’asse y.
Una parabola avente equazione:

y = ax^2 + bx + c

Ha i seguenti punti notevoli:

• Vertice:

V = \left( -\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a}\right) 

• Fuoco:

F = \left( -\frac{b}{2a},  \frac{1-\Delta}{4a}\right) 

• Asse:

x = -\frac{b}{2a}

Nel nostro caso il vertice ha coordinate V (-3, -5), fuoco F (-3, -19/4) e asse di simmetria x = -3.
Possiamo dunque disegnare la nostra parabola:

Il dominio della funzione coincide con tutto l’insieme R; la funzione ha inoltre un minimo assoluto che è il vertice della parabola in x = -3, mentre il suo estremo superiore è +∞.
Dunque, l’immagine della funzione coincide con l’insieme [-5 , +∞).

La lezione su come disegnare il grafico di una funzione si conclude qui….

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