Immagine di una funzione

Se stai studiando l’immagine di una funzione e hai incertezze al riguardo, in questa lezione troverai lo svolgimento di alcuni esercizi che ti aiuteranno a capire come dedurre l’immagine direttamente dal suo grafico e anche come scriverla in forma analitica.

Eccoti alcuni esempi utili, spiegati in modo dettagliato e ordinati per tipologia.

Dedurre l’immagine di una funzione dal suo grafico

Esercizio 1

Dedurre, dal grafico della seguente funzione, la sua immagine:

Svolgimento

Dato il grafico di una funzione, vediamo qual è l’insieme dei valori che la nostra funzione può assumere, ovvero i punti sulle coordinate y, dove il grafico è tracciato.
In questo caso, come possiamo notare, la funzione assume solamente valori maggiori o uguali di 0, poiché il grafico appartiene solamente al semipiano positivo delle y.
L’immagine di questa funzione sarà:

I: \ \forall y\in \mathbb{R}^{+ }

Dove con il simbolo:

\mathbb{R}^{+ }

Indichiamo l’insieme dei numeri reali positivi (0 incluso).
Volendo possiamo esprimere l’immagine anche come insieme, in questo caso sarà:

I:\left[0,+\infty\right)

Ricordiamo che con le parentesi tonde indichiamo che i punti estremi sono esclusi dal dominio, mentre con le parentesi quadre indichiamo che gli estremi sono inclusi.


Approfondimento -> La funzione rappresentata nel grafico è la seguente:

f\left(x\right):\ \ R-\{-1\}\rightarrow \mathbb{R}^+

f\left(x\right)=\left|x^2-1\right|\ \ \ \ \mathrm{con}\ x\neq-1

Ricordiamo che una funzione costituita da un singolo valore assoluto, come in questo caso, è sempre positiva (o uguale a 0) per tutte le x che appartengono al dominio:

\left|x^2-1\right|\geq0,\forall x\in D

Di conseguenza, l’insieme immagine della funzione sarà in questo caso composto da tutti i numeri reali positivi, con lo 0 anch’esso incluso.

Esercizio 2

Dato il grafico di questa funzione, qual è la sua immagine?
(La traccia in blu è la funzione, in nero gli asintoti)

Svolgimento

Vediamo per quali valori dell’asse y è tracciato il grafico. Come possiamo vedere, la nostra funzione assume tutti i valori della y tranne uno; andiamo a vedere quale.

Come suggerito dalla traccia, la retta:

y = 1

è un asintoto di questa funzione, ovvero per valori molto grandi di x, la funzione si avvicinerà sempre di più al valore 1, senza però mai ‘’toccarlo’’. Questo accade sia per valori di x tendenti a +∞, sia per i valori di x tendenti a -∞. Il valore 1 rappresenta perciò l’unico punto escluso dall’immagine.

L’immagine della funzione è quindi:

I∶\ y\neq1

Espressa in modo insiemistico sarà:

I:\left(-\infty,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)

Approfondimento -> In matematica il concetto di asintoto (in questo caso orizzontale) si rappresenta attraverso il concetto di limite, argomento di cui tratteremo nelle prossime lezioni. In questo caso scriveremo:

{\lim}_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=1

Questa funzione ha anche un altro asintoto, ovvero l’asintoto verticale x = 2 poiché, come possiamo vedere, la nostra funzione a sinistra e destra di 2 assume rispettivamente i valori -∞ e +∞.

Anche questa condizione è possibile esprimerla come limite:

{\lim}_{x\rightarrow2^\pm}{f}\left(x\right)=\pm\infty

Esercizio 3

Dato il seguente grafico di una funzione, dire qual è l’insieme immagine:

Svolgimento

Vediamo quali valori di y assume la nostra curva.

Questa funzione è definita a tratti; possiamo notare che vale 1 per valori della x positivi, -1 per valori negativi e 0 nel punto x = 0.
La funzione non assume altri valori, dunque la sua immagine è:

I:\ \ y=\pm1 \ \cup \ y=0

Se volessimo rappresentarlo come insieme, allora:

I=\{-1,\ 0,\ 1\}

Ricordiamo che attraverso le parentesi graffe indichiamo che nell’insieme ci sono solamente quei valori (in questo caso -1, 0 e 1).


Approfondimento -> Il grafico rappresenta la seguente funzione:

x = \begin{cases}
   1, & x>0 \\
   0, &x = 0\\
 -1, &x <0
\end{cases}

Questa funzione spesso viene indicata come:

y=\mathrm{sgn}{\left(x\right)}

Ovvero la funzione segno.

Hai esercizi che non riesci a risolvere? Entra a far parte della nostra community; i nostri tutor sono pronti ad aiutarti con qualunque quesito!

Immagine di una funzione scritta in forma analitica

Esercizio 1

Trovare l’immagine della seguente funzione:

y=\frac{x^2-2}{3x}

Svolgimento

Prima di tutto troviamo il dominio della funzione. Poiché è una funzione razionale fratta, il dominio sarà l’insieme delle x che non annullano il denominatore:

3x\neq0\Rightarrow x\neq0

Per trovare l’immagine della nostra funzione, prima di tutto ricaviamo la nostra variabile x in funzione della y; per farlo moltiplichiamo ambo i membri per 3x e portiamo tutto a sinistra:

3xy=x^2-2

x^2-3xy-2=0

Ora risolviamo l’equazione usando la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

x_{1,2}=\frac{3y\pm\sqrt{9y^2+8}}{2}

Notiamo che il delta di questa funzione:

\Delta=9y^2+8

è sempre maggiore di 0 (Poichè 9y² è sempre positivo o, al massimo, uguale a zero e, sommato a 8, dà una quantità sempre positiva).

Poiché il dominio della funzione coincide con x ≠ 0, per trovare l’immagine vediamo se esistono valori di y che annullano la variabile x. Qualora dovessero esistere, dovremo escludere tali valori dall’insieme immagine.

Annulliamo, quindi, la x:

\frac{3y\pm\sqrt{9y^2+8}}{2}\ =0

Moltiplichiamo per 2 ambo i membri e portiamo 3y a destra:

\pm\sqrt{9y^2+8}=-3y

Dobbiamo studiare separatamente i casi + e ‒ .
Risolviamo prima:

\sqrt{9y^2+8}=-3y

Trattasi di un’equazione irrazionale. Per risolverla, dobbiamo soddisfare il seguente sistema:

x = \begin{cases}
   -3y \geq 0 \\
   \sqrt{9y^2 +8} = -3y
\end{cases}

Nella prima disequazione, dividendo ambo i membri per 3 e cambiando il segno, otteniamo:

y \leq 0 

Per risolvere la seconda condizione, eleviamo entrambi i membri al quadrato:

9y^2+8=9y^2

Semplifichiamo le y², ottenendo:

8 =0

Ovvero impossibile.

Per questo motivo il sistema risulta impossibile. Questo significa che non esiste alcuna y per cui la x risulti uguale a 0.

Studiamo il secondo caso:

-\sqrt{9y^2+8}=-3y

\sqrt{9y^2+8}=3y

Anche qui, trattandosi di equazione irrazionale, dobbiamo risolvere il sistema:

 \begin{cases}
   3y\geq 0 \\
   \sqrt{9y^2+8}=3y
\end{cases}

La prima disequazione risulta essere vera per:

y\ \geq0

Per quanto riguarda l’equazione, anche in questo caso eleviamo al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice quadrata e otteniamo:

9y^2+8=9y^2

Semplificando otteniamo:

8\ =\ 0

Ovvero impossibile.

Anche in questo caso, per nessun valore della y la nostra x vale 0. Questo significa che non ci sarà alcun valore di y che dovrà essere escluso dall’immagine della funzione.
Possiamo quindi concludere che l’immagine della nostra funzione coincide con tutto l’insieme R.

I\equiv \mathbb{R}

Esercizio 2

Trovare l’immagine della seguente funzione:

y=e^{x-2}+2

Svolgimento

Poiché la nostra funzione è costituita da un’esponenziale a cui è sommata una costante, il dominio della funzione coincide con il dominio dell’esponenziale; nel nostro caso:

e^{x-2}

Tale espressione esiste per qualsiasi x appartenente ai numeri reali. Per trovare l’immagine, esprimiamo il tutto in funzione della variabile x:

e^{x-2}=y- 2

In questa equazione possiamo osservare innanzitutto una cosa, cioè che a sinistra dell’uguale abbiamo una funzione esponenziale nella variabile x; quantità che sappiamo essere sicuramente maggiore di zero.

Da questa osservazione, possiamo dedurre subito la prima condizione da imporre sull’espressione a destra dell’uguale, che dovrà essere anch’essa necessariamente maggiore di zero:

y-2 > 0

Da cui deduciamo la prima condizione da imporre sulla y:

y>2

Continuiamo, a questo punto, il nostro tentativo di isolare la variabile x:

e^{x-2} =y-2

Utilizzando le proprietà delle potenze, scriviamo:

e^{x-2}=\frac{e^x}{e^2}

Moltiplichiamo per e² ambo i membri e otteniamo:

e^x=e^2\left(y-2\right)

Applichiamo la funzione logaritmo naturale a entrambi i membri; possiamo effettuare questo passaggio perché abbiamo tutte quantità sicuramente positive su ambo i lati:

x=\ln{\left[e^2\left(y-2\right)\right]}

E utilizzando la proprietà dei logaritmi:

\ln{\left(a\cdot b\right)}=\ln{\left(a\right)}+\ln{\left(b\right)}

Otteniamo:

x=\ln{e^2}+\ln{\left(y-2\right)}

x=2+\ln{\left(y-2\right)}

La condizione di esistenza sull’argomento del logaritmo naturale risulta superflua in quanto coincide con la condizione applicata in precedenza. L’immagine della funzione si conferma dunque essere:

y >2

O se vogliamo:

I:\  \left(2,+\infty\right)

Esercizio 3

Trovare l’immagine della seguente funzione:

y=x^2-4

Svolgimento

Il dominio della funzione è tutto R, quindi per trovare l’immagine riscriviamo l’intera espressione in funzione dell’incognita x:

x^2=y+4

Eliminiamo il quadrato applicando la radice quadrata ad ambo i membri (ricordati sempre di inserire ± a destra, una volta applicata la radice quadrata):

x=\pm\sqrt{y+4}

Vediamo quali sono i valori di y ammessi; poiché abbiamo una radice quadrata (quindi con indice pari), dobbiamo imporre l’argomento della radice maggiore o uguale a 0:

y+4\geq0

Risolvendola otteniamo:

y\geq-4

L’immagine della nostra funzione sarà dunque:

I: \ \left[-4,+\infty \right)

Soluzione alternativa (geometrica) -> Volendo possiamo risolvere il nostro problema in modo geometrico, nel seguente modo:

y=ax^2+bx+c

Tutte le funzioni di questo tipo rappresentano delle parabole. Se il coefficiente a è maggiore di 0, allora sappiamo che il vertice della parabola è un minimo della funzione, quindi l’immagine sarà composta da tutti i valori maggiori o uguali alla coordinata y del vertice.

Viceversa, se il coefficiente a è minore di 0, il vertice è un massimo della funzione, dunque l’immagine sarà data dall’insieme di tutti i valori minori o uguali alla coordinata y del vertice:

Nel nostro caso:

y=x^2-4

Il coefficiente a è maggiore di 0, ricordiamo che il vertice di una parabola è il punto di coordinate:

V = \left( - \frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a}\right)

Il ∆ è quello associato all’equazione di secondo grado.
Nel nostro caso abbiamo:  

a= 1

b=0

\Delta = 16

Il vertice avrà coordinate:

V=\left(0,-4\right)

L’immagine della funzione è dunque:

I:\left[-4,+\infty\right)

Il grafico della parabola è il seguente:

Gli esempi mostrati ti sono serviti per fugare i tuoi dubbi circa l’immagine di una funzione?

Se hai ancora domande o nuovi esercizi da proporre, accedi alla community Telegram di My Digital Prof, entrerai a contatto con tutor qualificati e disponibili ad assisterti per ogni tua necessità.