Forma implicita ed esplicita di una funzione

Sei alle prese con lo studio delle funzioni e vuoi avere un’idea chiara circa la differenza tra forma implicita ed esplicita di una funzione? Sei nel posto giusto!

In questa lezione potrai osservare diversi esempi di risoluzione applicati ad alcune tipologie di esercizi riguardanti questo argomento.

Eccoti, di seguito, quelli che abbiamo selezionato per te.

Forma implicita ed esplicita di una funzione algebrica classica

Esercizio 1

Esprimere in forma esplicita la seguente funzione rispetto alla variabile y:

x^2-2xy=-1

Esprimerla poi anche in forma implicita.


Svolgimento

Trasformiamola in forma esplicita. Per farlo dobbiamo esprimere la variabile y in funzione di x:

y=f(x )

Isoliamo dunque la y da tutto il resto:

2xy=x^2+1

A questo punto dividiamo da entrambe la parti per il coefficiente 2x, ottenendo:

y=\frac{x^2+1}{2x }

Abbiamo ottenuto l’espressione in forma esplicita della funzione di partenza!


Approfondimento -> Noterai come in questi esercizi trascureremo eventuali condizioni di esistenza sulle variabili, in quanto non espressamente richiesto da questa tipologia di esercizi.


Vediamo ora la forma implicita della funzione. Una funzione risulta in forma implicita se è espressa nella forma:

F\left(x,y\right)=0

Dovremo quindi portare tutto a destra o sinistra del segno uguale (in questo caso conviene portare tutto a sinistra), in questo modo otteniamo:

x^2-2xy+1=0

Esercizio 2

Esprimere la seguente funzione in forma implicita:

y=\frac{x-1}{x+4}

Svolgimento

Per scriverla in forma implicita, portiamo tutto a sinistra dell’uguaglianza:

y-\frac{x-1}{x+4}=0

Facciamo il minimo comune multiplo:

\frac{\left(x+4\right)y-\left(x-1\right)}{x+4}= 0

Svolgiamo i calcoli:

xy+4y-x+1=0

Cambiando segno e riorganizzando la funzione otteniamo:

x-4y-xy-1=0

Esercizio 3

Data la seguente funzione, scriverla in forma esplicita sia nella variabile x che nella variabile y:

4xy+y-3x+6=0

Svolgimento

Isoliamo la variabile y, portando tutto il resto a destra:

4xy+y=3x-6

A sinistra possiamo effettuare un raccoglimento totale nelle y:

y\left(4x+1\right)=3x-6

Dividiamo da ambo le parti per il coefficiente che moltiplica la y, ovvero 4x + 1:

y=\frac{3x-6}{4x+1}

Esplicitiamo ora la stessa funzione, ma nella variabile x. Per farlo, spostiamo a destra ciò che contiene la variabile x:

y+6=3x-4xy

Ribaltiamo l’equazione e raccogliamo totalmente le x:

x\left(3-4y\right)=y+6

Dividiamo da ambo le parti per il coefficiente che moltiplica la x, ovvero 3 – 4y, ottenendo:

x=\frac{y+6}{3-4y}

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Funzioni logaritmiche ed esponenziali in forma implicita ed esplicita

Esercizio 1

Esprimere la seguente funzione in forma esplicita rispetto alla variabile y:

x^2+2x\ln{y}=x+ 5

Svolgimento

Trasformiamola in forma esplicita. Per farlo, isoliamo prima di tutto la y, portando a destra del segno uguale tutti gli altri elementi:

2x\ln{y}=x+5-x^2

A questo punto dividiamo da ambo le parti per il coefficiente 2x che moltiplica la y:

\ln{y}=\frac{x+5-x^2}{2x}

Ora dobbiamo esplicitare la y. Per farlo, usiamo la definizione di logaritmo:

e^{\ln{y}}=y

Applichiamo dunque la funzione esponenziale sia a destra che a sinistra, ottenendo:

y=e^{\left(\frac{x+5-x^2}{2x}\right)}

Spesso, dunque, per poter esplicitare la nostra variabile, è utile usare le funzioni inverse.

Esercizio 2

Esprimere la seguente funzione in forma esplicita rispetto alla variabile y:

2^y+1-x=0

Svolgimento

Isoliamo la y, portando il resto a destra:

2^y=x-1

Ora, per esplicitare y, sfruttiamo la definizione di logaritmo, ricordando che:

{log}_2{2^y=y}

Il nostro obiettivo, quindi, è quello di applicare la funzione log₂ ( ∙ ) a entrambi i membri dell’equazione, ottenendo:

y={log}_2{\left(x-1\right)}

Volendo, per esprimere il risultato in maniera diversa, possiamo usare la seguente proprietà dei logaritmi (cambio di base):

{log}_b{a}=\frac{{log}_c{a}}{{log}_c{b}}

Effettuiamo il cambio di base scegliendo la base naturale e dei logaritmi, che andrà a sostituire la base 2:

y=\frac{\ln{\left(x-1\right)}}{\ln{2}}

Quest’ultimo passaggio non è obbligatorio, tuttavia per esprimere il risultato si preferisce usare la base naturale rispetto alle altre.

Esplicitare una funzione gonomietrica implicita

Esercizio 1

Data la seguente funzione, scriverla in forma esplicita nella variabile y, trascurando eventuali condizioni di esistenza:

x\sin{y}+x^2-4=x^3

Svolgimento

Isoliamo l’elemento contenente y, portando tutto il resto a destra:

x\sin{y}=x^3-x^2+4

Dividiamo a destra e sinistra la variabile x, ottenendo:

\sin{y}=\frac{x^3-x^2+4}{x}

A questo punto, per esplicitare la nostra variabile, possiamo applicare la funzione inversa del seno, ovvero l’arcoseno, applicandola a entrambi i membri e ottenendo:

y=arcsin{\left(\frac{x^3-x^2+4}{x}\right)}

Esercizio 2

Data la seguente funzione goniometrica, scriverla in forma esplicita nella variabile y:

tan{\left(xy^2\right)}+x^2=x^3

Svolgimento

Spostiamo a destra la variabile x²:

tan{\left(xy^2\right)}=x^3-x^2

Applichiamo la funzione inversa della tangente a entrambi i membri:

xy^2=arctan{\left(x^3-x^2\right)}

Ora possiamo dividere per il coefficiente che moltiplica la variabile y:

y^2=\frac{arctan{\left(x^3-x^2\right)}}{x}

Infine, applichiamo la radice quadrata a entrambi i membri (ricordiamoci sempre di inserire ± a destra):

y=\pm\sqrt{\frac{arctan{\left(x^3-x^2\right)}}{x}}

Cosa fare quando la variabile da esplicitare compare sia al quadrato che in forma lineare

Esercizio 1

Trasformare la seguente funzione in forma esplicita nella variabile y:

4x^2-4y^2+3x-y=25

Svolgimento:

Separiamo le y da tutto il resto e per comodità spostiamole a destra:

4x^2+3x-25=4y^2+y

Ribaltiamo l’equazione in modo da avere y a sinistra:

4y^2+y=4x^2+3x-25

Vediamo ora come trattare bene 4y² + y; a differenza degli esercizi precedenti non possiamo usare una funzione sia a destra che sinistra che ci aiuti a esplicitare la variabile. Inoltre, la y compare sia al quadrato, sia in forma lineare.

Notiamo tuttavia che l’espressione 4y² + y ci ricorda un (quasi) quadrato di binomio.

Ripensando alla forma del quadrato di un binomio:

\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2

Poniamo:

a^2=4y^2

2ab=y

Da qui deduciamo che:

a=2y

Quindi possiamo ricavarci direttamente il valore di b:

4yb=y\Longrightarrow b=\frac{1}{4}

Per formare il quadrato di binomio ci manca:

b^2=\frac{1}{16}

Aggiungiamo quindi sia a destra che a sinistra quest’ultimo termine:

{\small 4y^2+y \ {\color{Red}+\frac{1}{16}}=4x^2+3x-25\ {\color{Red}+\frac{1}{16}}}

Riscrivendo la parte di sinistra come un quadrato di binomio e semplificando, otteniamo

\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2=4x^2+3x-\frac{399}{16}

A questo punto semplifichiamo il quadrato, mettendo sotto radice l’espressione di destra (ricordiamoci di inserire ± davanti alla radice):

2y+\frac{1}{4}=\pm\sqrt{4x^2+3x-\frac{399}{16}}

Ora possiamo finalmente isolare la nostra y:

2y=\pm\sqrt{\left(4x^2+3x-\frac{399}{16}\right)}-\frac{1}{4}

Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente 2 che moltiplica la y:

y=\pm\frac{\sqrt{\left(4x^2+3x-\frac{399}{16}\right)}}{2}-\frac{1}{8}

Notiamo come in questo caso le forme esplicite della nostra funzione sono due:

y\ =\ \frac{\sqrt{\left(4x^2+3x-\frac{399}{16}\right)}}{2}-\frac{1}{8}

y\ =\ -\frac{\sqrt{\left(4x^2+3x-\frac{399}{16}\right)}}{2}-\frac{1}{8}

Notiamo come queste due funzioni rappresentino due iperboli.

Il trucchetto del completamento del quadrato è estremamente utile soprattutto quando vogliamo esplicitare una variabile presente al quadrato.
È possibile trattare in questo modo tutte le funzioni che rappresentano, ad esempio, iperboli, circonferenze o ellissi.


Esercizio 2

Esplicitare la seguente funzione rispetto alla variabile y e trovare le condizioni di esistenza:

5x^2-y^2+x-2y=5

Svolgimento

Vogliamo esplicitare la funzione rispetto alla variabile y, quindi prima di tutto separiamola da tutto il resto:

y^2+2y=5x^2+x-5

Come nell’esercizio precedente, completiamo il quadrato.

Poiché

y^2+2y+1=\left(y+1\right)^2

Basterà aggiungere 1 a entrambi i lati dell’equazione di partenza:

y^2+2y \ {\color{Red}+\ 1}=5x^2+x-5\ {\color{Red}+\ 1}

Trasformando la parte di sinistra in un quadrato di binomio e semplificando, otteniamo:

\left(y+1\right)^2=5x^2+x-4

Mettendo sotto radice entrambi i membri :

y+1=\pm\sqrt{5x^2+x-4}

Infine, spostiamo la costante a destra:

y=\pm\sqrt{5x^2+x-4}-1

Vediamo ora la condizione di esistenza.

La funzione ottenuta è una funzione irrazionale con indice pari, per questo motivo bisogna stare attenti alla funzione sotto la radice quadrata.

L’argomento della radice deve essere maggiore o uguale a 0, quindi per trovare la condizione di esistenza dobbiamo imporre:

5x^2+x-4\ \geq0

Calcoliamo le radici; prima di tutto valutiamo il delta:

\Delta=1-\left(-4\right)\cdot4\cdot5=81

Le radici saranno dunque:

{\small x_{1,2}=\frac{-1\pm9}{10}\Longrightarrow x_1=-1,x_2=\frac{4}{5}}

La funzione sarà maggiore o uguale a 0 per valori esterni:

x\le-1\ \cup\ x\ \geq\frac{4}{5 }

Abbiamo chiarito il significato di forma implicita ed esplicita di una funzione e abbiamo visto come risolvere, passo dopo passo, diverse tipologie di esercizi.

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