Funzione inversa

Benvenuto nell’articolo sulle funzioni inverse.
Se sei alla ricerca di esercizi pratici per poter padroneggiare al meglio questo concetto fondamentale, sei nel posto giusto!

Rimani con noi quindi per scoprire i metodi e le tecniche più adatte per ricavare la forma inversa di una funzione studiandone sia l’andamento grafico che la sua forma analitica.

Stabilire se una funzione è invertibile a partire dal grafico

Esercizio 1

Dato il grafico della seguente funzione:

f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}

Determinare dominio, immagine, eventuali zeri e segno.
La funzione è invertibile? In caso negativo, restringere il dominio della funzione per renderla invertibile.

Svolgimento

  • Studio del dominio e dell’immagine:

La funzione presenta due asintoti verticali di equazioni x = 1 e x = 2. Il dominio è rappresentato dall’insieme:

D \equiv (-\infty,1) \cup (2, + \infty)

Inoltre, la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione y = 0.
Per questo motivo l’immagine è data dall’insieme:

I \equiv \mathbb{R} - \{0\}
  • Studio degli zeri e segno:

Dallo studio fatto nel punto precedente, il punto y = 0 non appartiene all’insieme immagine della funzione; dunque, possiamo affermare con certezza che la funzione non presenta zeri.

La funzione appartiene al semipiano positivo delle y (ed è quindi positiva) nell’intervallo:

(-\infty, 1)

È negativa invece nell’intervallo:

(2, + \infty)
  • Invertibilità:

La funzione è iniettiva; se infatti tracciassimo infinite rette parallele all’asse x, esse intersecherebbero la funzione al massimo in un punto.

La funzione è suriettiva se e solo se restringiamo il codominio all’insieme:

\mathbb{R} - \{0\}

La restrizione è rappresentabile come:

f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} - \{0\}

Sotto questa restrizione, la funzione risulta anche suriettiva e quindi biunivoca.
Ricordiamo che una funzione, per essere invertibile, deve essere necessariamente sia iniettiva che suriettiva (accettando anche eventuali restringimenti di codominio come in questo caso).

Concludiamo che la funzione è dunque invertibile, avendo in precedenza dimostrato sia la sua iniettività che la sua suriettività.

Per rappresentare la funzione inversa, dobbiamo effettuare una simmetria rispetto alla retta di equazione y = x (bisettrice primo e terzo quadrante):

Per approfondire -> La funzione rappresentata nel grafico è:

f(x) = \ln \left( \frac{x-2}{x-1}\right)

La funzione inversa è:

f^{-1} = \frac{e^x-2}{e^x -1}

Esercizio 2

Dato il grafico della seguente funzione:

f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}

Determinarne dominio, immagine, eventuali zeri e segno.
La funzione è invertibile? In caso negativo, restringere il dominio della funzione per renderla tale.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione è definita su tutto l’insieme dei numeri reali. Il dominio quindi è:

D \equiv \mathbb{R}

L’immagine è data dall’insieme:

I \equiv [-4, + \infty)
  • Studio degli zeri e segno della funzione:

La funzione interseca l’asse delle x in due punti, in x = -1 e x = 3.
Essa è positiva nell’intervallo:

(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)

Negativa in:

(-1,3)
  • Invertibilità:

Come studiato nel punto precedente, poiché la funzione ha due zeri, essa non può essere iniettiva.
La funzione è suriettiva se restringiamo il codominio all’insieme:

[-4, + \infty)

La funzione, non essendo biunivoca, non può essere invertibile.

Per rendere la funzione invertibile, possiamo restringere sia dominio che codominio.

Ad esempio, possiamo ridefinire la funzione come segue:

f: [1, + \infty) \to [-4, + \infty)

Abbiamo quindi modificato anche il dominio in modo da prendere solo la metà di destra della parabola.

Andiamo ora a rappresentare graficamente la funzione inversa di tale funzione “ristretta”.
Per farlo, effettuiamo una simmetria assiale rispetto alla retta y = x:

Per approfondire -> La funzione inversa proposta in figura (colorata in rosso) è una semi-parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x, avente vertice in:

V = (-4,1)

La forma analitica di tale funzione inversa è:

f^{-1} = 1 + \sqrt{x + 4}

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Esercizio 3

Dato il grafico della seguente funzione:

f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}

Determinare dominio, immagine, eventuali zeri e segno.
La funzione è invertibile? In caso negativo, restringere il suo dominio per renderla invertibile.

Svolgimento

  • Studio del dominio e dell’immagine:

La funzione ha un asintoto verticale di equazione x = 5.

Per questo motivo, il dominio della funzione coincide con l’insieme:

D \equiv \mathbb{R} - \{5\}

Inoltre, essa ha un asintoto orizzontale di equazione y = e.
L’immagine della funzione coincide con l’insieme:

I \equiv(0,e) \cup (e, + \infty)
  • Studio degli zeri e segno della funzione:

Dal punto precedente, il valore y = 0 non appartiene all’insieme delle immagini, per questo motivo la funzione non può presentare zeri.

Come possiamo vedere dal grafico, la funzione, per ogni valore delle x appartenenti al dominio, è sempre positiva.

  • Invertibilità:

La funzione è iniettiva; infatti, tracciando infinite rette parallele all’asse delle x, vediamo che esse intersecano la funzione al massimo in un punto.

Se restringiamo il codominio all’insieme:

(0,e) \cup (e, + \infty)

La funzione risulta essere anche suriettiva.
Sotto queste restrizioni, essa risulta biunivoca, dunque invertibile.

Rappresentiamo allora la sua funzione inversa; per farlo, effettuiamo una simmetria assiale rispetto alla retta y = x.

Determinare la forma analitica della funzione inversa

Esercizio 1

Data la seguente funzione:

f(x) = \frac{x}{x - 2}

Studiare il dominio, il segno, l’immagine e gli zeri.
Stabilire poi se la funzione è invertibile o no. Nel caso non lo fosse, restringere il dominio per renderla tale e determinare la forma analitica della funzione inversa.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione proposta è una razionale fratta.
Il dominio è rappresentato dall’insieme dei valori per cui il denominatore è diverso da 0:

x -2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

Dunque, il dominio coincide con l’insieme:

D = \mathbb{R} - \{2\}

La funzione proposta è una funzione omografica, del tipo:

y = \frac{ax +b}{cx + d}

Come sappiamo, la funzione omografica ha un asintoto orizzontale in:

y = \frac{a}{c} = 1

Che rappresenta l’unico valore in ordinata da escludere dall’insieme immagine; quest’ultimo sarà dunque coincidente con:

I \equiv \mathbb{R}- \{1\}
  • Zeri della funzione e segno:

Per trovare gli zeri della funzione dobbiamo risolvere l’equazione:

\frac{x}{x-2} = 0 \Rightarrow x = 0

Per trovare il segno, risolviamo la disequazione:

\frac{x}{x-2} \geq 0 

Studiamo separatamente numeratore e denominatore.

Dal numeratore ricaviamo:

x \geq 0 

Dal denominatore:

x-2 > 0 \Rightarrow x > 2

Effettuiamo ora il grafico dei segni:

La funzione è positiva in:

x \leq 0 \cup x > 2

Negativa in:

0< x <2
  • Funzione inversa:

Se ridefiniamo la funzione come:

f(x): D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} - \{1\}

Essa diventa biunivoca, dunque ammetterebbe la funzione inversa.

Per trovare la forma analitica della sua inversa, ricaviamo la x dalla forma esplicita della funzione di partenza:

y = \frac{x}{x-2}

Moltiplichiamo entrambi i membri per x – 2:

y(x-2) = x

Sviluppiamo i calcoli e isoliamo la x:

yx - 2y = x\\
\Downarrow\\
yx -x = 2y\\
\Downarrow\\
x(y-1) = 2y\\
\Downarrow\\
x = \frac{2y}{y-1}

Non ci resta che scambiare ora le variabili tra loro e otteniamo l’espressione della funzione inversa:

y = f^{-1} = \frac{2x}{x-1}

Nota come l’immagine della funzione di partenza coincida ora con il dominio della funzione inversa; entrambi infatti sono pari a:

\mathbb{R} - \{1\}

Viceversa, si verifica anche che il dominio della funzione di partenza R – {2} coincide con l’immagine della sua inversa. Questo accade per tutte le funzioni invertibili.

Anche se non richiesto dall’esercizio, per completezza rappresentiamo il grafico delle due funzioni:

Esercizio 2

Data la seguente funzione:

y = x^2 -4x + 4 

Studiarne il dominio, l’immagine e gli zeri.
La funzione è invertibile? In caso contrario restringere il dominio e determinare la forma analitica della funzione inversa.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione proposta è un polinomio di secondo grado, per questo motivo il dominio coincide con l’insieme R.
Essa rappresenta una parabola con concavità verso l’alto.

Inoltre, notiamo che essa è un quadrato di binomio, infatti:

y =(x-2)^2

La parabola ha vertice in:

V = (2,0)

Dunque, l’immagine della funzione è data dall’insieme:

I \equiv [0, + \infty)
  • Zeri della funzione:

Per trovare gli zeri, dobbiamo risolvere l’equazione:

x^2 - 4x + 4 = 0

Come visto nel punto precedente, possiamo riscrivere l’equazione come quadrato di binomio e ricavare gli zeri:

(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2

Studiamo ora il segno della funzione; risolviamo la disequazione:

x^2 -4x +4 \geq 0

La funzione è un quadrato di binomio, dunque è sicuramente sempre positiva.

  • Funzione inversa:

La funzione, poiché è una parabola classica, per definizione non è iniettiva.

Possiamo quindi concludere che la funzione non è biiettiva, quindi non ammette funzione inversa.

Tuttavia, se andiamo a restringere il dominio e codominio a ben determinate parti di piano, allora essa può diventare biunivoca.

L’asse di simmetria della parabola è in questo caso x = 2. Restringendo intelligentemente il grafico ad una sola metà della parabola, tagliandola esattamente a metà, possiamo rendere la funzione iniettiva.

Se ad esempio scegliessimo di restringere il dominio alla metà di destra della parabola, otterremmo un nuovo dominio:

D \equiv [2, + \infty)

E la funzione diventa in questo caso iniettiva.
Tenendo conto del nuovo dominio e facendo coincidere il codominio con l’immagine della funzione, otterremmo:

f: [2, + \infty) \to [0, +\infty)

La funzione, definita in questo modo, è ora sia iniettiva che suriettiva, diventando biunivoca (o biiettiva) e quindi invertibile.

Per trovare la forma analitica della funzione inversa, prima di tutto bisogna ricavare la variabile x dalla funzione di partenza:

y = x^2 -4x + 4 

Esprimiamo il membro di destra come un quadrato di binomio:

(x-2)^2 = y 

Effettuiamo ora la radice quadrata ad entrambi i membri:

x -2 = \pm \sqrt{y}

Infine, portiamo la costante a destra e otteniamo:

x= 2  \pm \sqrt{y}

Notiamo che è presente un’ambiguità nella formula, rappresentata dal simbolo ±. Quale segno scegliere dunque?
Ricordiamo che in precedenza abbiamo scelto come dominio:

D \equiv [2, + \infty)

Questa informazione sul dominio della funzione di partenza ci fa da vera e propria guida nella scelta del segno.

Il dominio ci dice infatti che la nostra x dovrà essere necessariamente maggiore di 2.
Essendo √y una quantità sicuramente positiva, sceglieremo il segno + in modo da rendere la variabile x sempre maggiore di 2:

x = 2 + \sqrt{y}

Ora non ci resta che invertire le due variabili e arriviamo finalmente all’espressione della funzione inversa:

y = \sqrt{x} + 2, \ x \geq 0

Per completezza, anche se non richiesto dall’esercizio, rappresentiamo le due funzioni:

Esercizio 3

Data la seguente funzione:

y = \ln(x^2 -4)

Studiare il dominio ed eventuali zeri.
La funzione è invertibile? In caso contrario restringere il dominio e determinare la forma analitica della funzione inversa.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione proposta è una funzione logaritmica.
Il dominio è definito dall’insieme delle x tali che l’argomento del logaritmo sia maggiore di 0.
Dobbiamo dunque risolvere la disequazione:

x^2 -4 > 0

Tracciamo la parabola:

Il dominio è l’insieme:

D \equiv (- \infty,-2) \cup (2, + \infty)

L’immagine della funzione, trattandosi di una espressione logaritmica pura, per definizione corrisponde a tutto l’insieme dei numeri reali R.

  • Zeri della funzione e segno:

Per trovare gli zeri, dobbiamo risolvere la seguente equazione:

\ln(x^2 - 4) = 0

Effettuiamo l’esponenziale a destra e sinistra, ottenendo:

x^2 -4 =1 \Rightarrow x^2 -5 = 0

La soluzione di questa equazione è:

x_{1,2} = \pm \sqrt{5}

Studiamo ora il segno; dobbiamo risolvere la disequazione:

\ln(x^2 -4) \geq 0 

Applichiamo l’esponenziale ad ambo i membri, ottenendo:

x^2 -4 \geq 1 \Rightarrow x^2 -5 \geq 0

Per risolverla, disegniamo la parabola:

La funzione perciò è positiva per:

x \leq - \sqrt{5}\cup x \geq \sqrt{5}

E negativa in:

-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}
  • Funzione inversa:

Come studiato nei punti precedenti, la funzione ha due radici distinte, dunque sicuramente non è iniettiva.

Vediamo in che modo, restringendo il dominio, possiamo trasformarla in una funzione biunivoca e quindi invertibile.

Non conoscendo l’andamento esatto della funzione, non possiamo stabilire con certezza su quale parte di dominio concentrarci per rendere la funzione iniettiva.

In questo caso meglio procedere con un approccio diverso; proviamo ad invertire comunque la funzione, isolando la variabile x:

\ln(x^2 -4 ) = y \\
\Downarrow\\
x^2 -4 = e^y\\
\Downarrow\\
x^2 = e^y + 4 \\
\Downarrow\\
x = \pm \sqrt{e^y +4}

A questo punto non siamo in grado di decidere se tenere il segno positivo o negativo.

Tale ambiguità sul segno non è un caso; nasce appunto dal fatto che la funzione, non essendo iniettiva (quindi non invertibile), crea un’incertezza nel momento in cui proviamo a invertirla.

Per uscire da questa ambiguità, ci basterà scegliere a piacere quale segno tenere; in base alla nostra scelta, restringeremo automaticamente il dominio ad una parte di piano che rende la nostra funzione iniettiva.

Scegliendo il segno + ad esempio:

x = \sqrt{e^y + 4}

Stiamo automaticamente restringendo il dominio alla parte di piano con le ascisse sempre positive, essendo l’elemento a destra dell’uguale sempre positivo:

x > 0

Tale restrizione di dominio, intersecata con il dominio naturale della funzione, che ricordiamo essere:

D \equiv (-\infty, -2) \cup (2, + \infty)

Porta a un dominio finale pari a:

D \equiv (2, + \infty)

Rendendo la funzione ora iniettiva e definita come:

f: (2, + \infty) \to \mathbb{R}

(abbiamo definito codominio pari a R, facendolo coincidere volutamente con l’immagine della funzione definita in uno dei punti precedenti, rendendo la funzione di fatto anche suriettiva).

Ora non ci resta che definire l’espressione analitica della funzione inversa.
Avendo già invertito la formula in precedenza, ci basta scambiare la x con la y e il gioco è fatto:

y = \sqrt{e^x + 4}

Anche se non espressamente richiesto, riportiamo per approfondimento anche i grafici delle due funzioni:

La lezione sulle funzioni inverse si conclude qui.
Spero che gli esercizi proposti ti abbiano in qualche modo chiarito alcuni dei dubbi che avevi a riguardo.

Se hai altre domande, non esitare a farle all’interno della nostra chat gratuita. Al suo interno troverai tutor pronti ad aiutare i ragazzi in preparazione alla maturità e in generale chi come te è alle prese con gli argomenti di matematica e fisica.