In questa lezione impareremo come si fa a capire se e quando una funzione può essere considerata iniettiva o suriettiva studiandone il comportamento grafico o analizzandone la forma analitica.
Rimani con noi quindi per scoprire diverse tipologie di esercizi inerenti questo argomento e apprendere i metodi migliori per affrontarli.
Stabilire se una funzione è iniettiva o suriettiva a partire dal grafico
Esercizio 1
Dato il grafico della seguente funzione:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}Determinarne dominio, immagine, eventuali zeri, segno e infine eventuali parità o disparità.
Infine, stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva, entrambe, oppure nessuna delle due.
Svolgimento
- Studio del dominio e dell’immagine:
La funzione rappresentata nel grafico ha il dominio e l’insieme delle immagini coincidenti entrambi con l’insieme R, come puoi notare dal fatto che la curva è tracciata per qualunque valore, sia orizzontalmente che verticalmente.
- Zeri e segno:
Notiamo come il grafico intersechi l’asse delle ascisse solo nel puntox = -1 . Possiamo concludere quindi che la funzione ha un solo zero.
Passando allo studio del segno, notiamo che la funzione è presente nel semipiano positivo dell’asse y nell’intervallo:
(-1, + \infty)
Appartiene invece al semipiano negativo nell’intervallo:
(- \infty, -1)
Possiamo quindi concludere che:
y>0, \ \forall x \in (-1, + \infty)
y < 0, \forall x \in (-\infty, -1)
- Parità e disparità:
La funzione non presenta alcuna parità o disparità, poiché il suo grafico non è simmetrico rispetto all’origine (non è dispari) e non è nemmeno simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (quindi non è neanche una funzione pari).
- Iniettività e suriettività:
Discutiamo infine gli ultimi due punti del problema; andiamo a vedere cosa si può dire dell’iniettività e suriettività della funzione.
Una funzione è iniettiva se:
{\small \forall x_1, x_2 \in D\ |\ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)}Come possiamo capire se la funzione è iniettiva dal grafico?
Immaginiamo di tracciare infinite rette orizzontali. Se ogni retta interseca la funzione al massimo in un punto, allora la funzione è iniettiva.
Data una funzione:
f: A \to B
Essa è suriettiva se l’insieme delle immagini coincide esattamente con l’insieme di arrivo B (detto anche codominio).
Graficamente dobbiamo determinare quali valori di y la nostra funzione assume come immagini e verificare se coincidono con l’insieme B.
Nel nostro caso, se tracciamo infinite rette parallele all’asse delle ascisse, ognuna di esse interseca la funzione al massimo in un punto, mai in due (o più); per questo motivo possiamo concludere che la nostra funzione è iniettiva.
Nel grafico qui sotto riportato sono rappresentate in rosso tali rette orizzontali immaginarie:
Osserviamo inoltre che l’immagine della funzione coincide con l’insieme R.
Essendo la nostra funzione definita come:
f: D \subseteq {\color{#2ECC71}{\mathbb{R}}} \to {\color{red}\mathbb{R}}Vuol dire che l’insieme di arrivo (codominio) coincide con l’immagine della funzione, essendo entrambi coincidenti con R; per questo motivo possiamo concludere che la funzione è anche suriettiva.
E siccome la funzione è sia iniettiva che suriettiva, allora è anche biunivoca.
Esercizio 2
Dato il grafico della seguente funzione:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}
Determinare il dominio, l’immagine, eventuali radici, segno e studiarne parità e disparità.
La funzione è iniettiva, suriettiva o nessuna delle due? Se non è suriettiva, in che modo possiamo restringere il codominio per trasformarla in una funzione suriettiva?
Svolgimento
- Studio del dominio:
La funzione presenta un asintoto verticale di equazione
Dunque, possiamo concludere che il dominio della funzione coincide con l’insieme:
\mathbb{R}- \{ 4\}- Immagine:
La funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione
Per concludere, l’immagine della funzione coincide con l’insieme:
\mathbb{R}- \{ 1\}- Zeri e segno:
Proviamo ora a determinare gli zeri e il segno della nostra funzione:
Il grafico interseca l’asse delle ascisse nel punto
Dal grafico possiamo notare inoltre che la funzione appartiene al semipiano positivo delle ordinate nell’intervallo:
(-\infty,1)\ \cup\ (4, + \infty)
La funzione è dunque positiva in questo intervallo.
La funzione è negativa invece nell’intervallo
- Parità e disparità:
La funzione non presenta alcuna parità o disparità, poiché non è simmetrica né rispetto all’asse delle y, né rispetto all’origine degli assi.
- Iniettività e suriettività:
Seguendo lo stesso ragionamento dell’esercizio precedente, tracciando infine rette orizzontali immaginarie, osserviamo che ognuna di esse interseca la nostra funzione al più solo in un punto; non succede quindi mai che una di queste rette incroci la curva due (o più) volte.
Per questo motivo possiamo affermare che la nostra funzione è iniettiva.
Infine, ricordiamo che l’immagine della funzione coincide con l’insieme:
\mathbb{R} - \{1\}Essendo la funzione definita come:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}Il codominio, che in questo caso è pari all’insieme R, non coincide con l’insieme immagine. Possiamo perciò concludere che la funzione non è suriettiva.
Possiamo però trasformarla in una funzione suriettiva restringendo il codominio e facendolo coincidere con l’immagine, ridefinendo quindi la funzione stessa come:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} - \{1\}Lo sapevi che abbiamo creato una community online dove puoi inviare esercizi gratuitamente e farti aiutare dai nostri tutor?
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Esercizio 3
Dato il grafico della seguente funzione:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}
Determinare dominio, immagine, eventuali radici, segno e infine individuare possibili parità o disparità della funzione.
La funzione è iniettiva, suriettiva, entrambe, o nessuna delle due? Qualora non fosse suriettiva, possiamo modificare l’insieme codominio per renderla una funzione suriettiva?
Svolgimento
- Dominio:
Dal grafico possiamo notare come la funzione esiste ed è quindi definita per tutte le x appartenenti all’insieme dei numeri reali.
Il dominio della funzione coincide dunque con tutto l’insieme R.
- Immagine:
Studiamo ora l’immagine della nostra funzione; dal grafico notiamo come essa presenti un asintoto orizzontale di equazione:
y = 0
Al di sotto del quale non è presente alcun tratto di funzione.
Inoltre, è limitata superiormente, avendo un massimo assoluto nel punto:
M = \left( 0, \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)Da queste analisi possiamo dunque osservare come l’immagine della funzione coincida con l’intervallo:
I : \left( 0, \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right]- Zeri e segno:
La funzione rappresentata nel grafico non interseca mai l’asse delle ascisse; dunque, non ha alcuna radice reale (o zero).
Per quanto riguarda il segno, la funzione appartiene unicamente al semipiano positivo delle oridnate, quindi:
f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}È dunque sempre positiva per ogni punto in cui è definita.
- Parità e disparità:
Dal grafico notiamo come la funzione sia simmetrica rispetto all’asse delle y, quindi possiamo dire che essa è sicuramente pari.
Inoltre, non è dispari in quanto non presenta alcuna simmetria rispetto all’origine.
- Iniettività e suriettività:
Vediamo prima se la funzione è iniettiva.
In questo caso, se tracciamo una qualsiasi retta orizzontale nell’intervallo di ordinate:
\left( 0, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \right)Essa interseca la funzione sempre in due punti:
Per questo motivo la funzione non è iniettiva. Sarebbe infatti bastata anche solo una retta orizzontale che intersecasse la funzione in più di un punto per renderla non iniettiva.
Infine, andiamo a verificare se la funzione è suriettiva:
Osserviamo che il codominio e l’immagine non coincidono; ciò porta ad affermare che la funzione non è suriettiva.
L’unico modo per rendere la funzione suriettiva è restringendo l’insieme codominio, facendolo coincidere con l’immagine, ovvero andando a ridefinire la nostra funzione come:
f: D \subseteq \mathbb{R} \to \left( 0, \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right]
Come capire se una funzione è iniettiva o suriettiva studiando la sua forma analitica
Esercizio 1
Data la seguente funzione:
f(x) =
\begin{cases}
x -1 & x\geq 1\\
x^2-1 & x<1
\end{cases}Disegnare il suo grafico.
Successivamente:
- Determinare analiticamente il dominio della funzione e la sua immagine.
- Determinare gli zeri e il segno della funzione.
- La funzione è iniettiva? È suriettiva?
Svolgimento
La funzione proposta è definita a tratti:
x – 1 è una retta che interseca l’asse delle ascisse nel puntox = 1 .x2 – 1 è una parabola che interseca l’asse delle ascisse nei puntix = ± 1 , ha come asse di simmetria la rettax = 0 e vertice il punto:
V = (0,-1)
Possiamo rappresentare la nostra funzione nel seguente modo:
- Dominio e immagine:
Essa è espressa attraverso due funzioni polinomiali, e come sappiamo i polinomi sono definiti su tutto l’insieme dei numeri reali.
La nostra funzione ha quindi il dominio coincidente con l’insieme R.
Essa presenta un minimo assoluto inx = 0 , ovvero il vertice della parabola, mentre il suo estremo superiore è + ∞; la sua immagine coincide dunque con l’insieme:
[-1, + \infty)
- Zeri e segno:
Studiamo ora gli zeri della funzione;
Per l’intervallo
y = x -1
Tale funzione si annulla in:
x -1 = 0 \Rightarrow x =1
Il valore trovato è compreso nell’intervallo in cui la retta è definita, quindi possiamo accettarlo come zero.
Per l’intervallo
y = x^2 - 1
La funzione si annulla in:
x^2 -1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1
Poiché l’intervallo di definizione di questa funzione è
Studiamo ora il segno della funzione; per farlo dobbiamo risolvere i seguenti sistemi di disequazione:
\begin{cases}
x\geq 1 \\
x -1 \geq 0
\end{cases}
\
\cup
\
\begin{cases}
x < 1 \\
x^2-1 \geq 0
\end{cases}Risolviamo il primo sistema; dalla seconda disequazione otteniamo:
x \geq 1
Facciamo il grafico dei segni, intersecandolo con l’intervallo di definizione di questo primo tratto di funzione, che in questo caso evidenziamo con una linea azzurra:
Dal primo sistema troviamo che la funzione è positiva (o pari a zero) nell’intervallo:
x \geq 1
Mentre a sinistra di questo valore essa non è proprio definita.
Studiamo ora il secondo sistema.
Dalla seconda equazione, studiamo il segno della parabola:
x^2 -1
Mettiamola ora a sistema con l’intervallo di definizione di questo secondo tratto di funzione, che riportiamo qui sotto con una linea azzurra:
La funzione risulta positiva (o uguale a zero) nell’intervallo:
x \leq -1
Negativa in:
-1 < x < 1
Unendo le soluzioni dei due sistemi troviamo:
La funzione risulta dunque positiva (o uguale a zero) in:
x \leq -1\ \cup\ x \geq 1
Mentre è negativa nell’intervallo:
-1 < x < 1
- Iniettività e suriettività:
Per quanto riguarda l’iniettività, poiché la funzione proposta ha due zeri:
f(\pm 1) = 0
Possiamo affermare con certezza che essa non è iniettiva, in quanto esiste almeno una coppia di ascisse con la stessa immagine.
Andiamo infine a capire se la funzione è anche suriettiva o no.
Non avendo indicazioni specifiche sul codominio, possiamo ritenere la funzione definita come:
f: {\color{#2ECC71}\mathbb{R}} \to {\color{Red}\mathbb{R}}Avendo quindi appena supposto un codominio (o insieme di arrivo) pari a R, osserviamo che esso non coincide con l’immagine trovata in precedenza.
Per questo motivo, la funzione non è nemmeno suriettiva.
Esercizio 2
Dimostrare che la seguente funzione:
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}f(x) = 3^x
È sia iniettiva che suriettiva.
Svolgimento
Facciamo un breve studio della nostra funzione; per definizione, la funzione esponenziale del tipo:
y = a^x, \ a>1
è sempre positiva e crescente. Per dimostrarne l’iniettività in modo analitico, consideriamo due diverse ascisse tali che:
x_1 \neq x_2
Applicando l’elevamento a potenza (con base a maggiore di 1) da entrambe le parti (operazione sempre possibile indipendentemente dai segni dei due membri), otteniamo:
a^{x_1} \neq a^{x_2}Nel nostro caso:
3^{x_1} \neq 3^{x_2}Possiamo quindi affermare che la nostra funzione è iniettiva.
Per dimostrare che la funzione è anche suriettiva, dobbiamo partire con il determinare analiticamente l’insieme immagine.
Come? Andando ad isolare la variabile x nella nostra equazione di partenza.
Osserviamo però prima una cosa. La funzione:
y = 3^x
come affermato anche in precedenza, è sempre positiva, data la sua natura di esponenziale.
Ciò vuol dire che, essendo il membro di destra dell’equazione sempre positivo, allora lo sarà anche quello sinistro, perciò:
y > 0
Tenendo a mente la condizione appena trovata, continuiamo quindi con il nostro tentativo di isolare la x della funzione di partenza:
Sapendo a questo punto che entrambi i membri dell’equazione iniziale sono sicuramente positivi, applichiamo la funzione logaritmo in base 3 su ambo i lati:
\log_3 y =x
Abbiamo isolato la variabile x. A questo punto notiamo che l’unica condizione rimasta da applicare sulla variabile y, essendo ora argomento di un logaritmo, è:
y > 0
Che corrisponde alla stessa relazione trovata nel passaggio appena precedente.
La relazione appena scritta equivale dunque all’immagine definitiva alla funzione.
Essa può essere espressa anche come:
y \in \mathbb{R}^+L’immagine trovata coincide con il codominio iniziale fornito nei dati:
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+Per questo motivo, deduciamo che la funzione data è suriettiva.
Abbiamo quindi dimostrato che la nostra funzione è sia iniettiva che suriettiva, motivo per cui essa è anche definita biunivoca.
Per completezza, rappresentiamo la funzione anche graficamente:
Esercizio 3
Data la seguente funzione:
y = (x^2 -1)(x^2 -4)
- Determinare il suo dominio e l’immagine;
- Determinare gli zeri della funzione e il suo segno;
- La funzione è iniettiva?
Svolgimento
- Dominio e immagine:
La funzione proposta è un polinomio di grado 4, dunque il suo dominio coincide con tutto l’insieme R.
La funzione è già fattorizzata, quindi per trovare gli zeri del polinomio dobbiamo imporre:
x^2 -1 = 0\ \cup\ x^2 -4 = 0
Dalla prima otteniamo:
x_{1,2} = \pm 1Dalla seconda:
x_{3,4} = \pm 2Che corrispondono appunto ai 4 zeri della funzione.
- Studio del segno:
Studiamo ora il segno della funzione, andando ad analizzare separatamente il segno delle due parabole:
x^2 -1 \geq 0 \\ x^2 -4 \geq 0
Disegniamo la parabola corrispondente alla prima disequazione:
Disegniamo ora la parabola corrispondente alla seconda disequazione:
Tracciamo ora il grafico dei segni:
La funzione è positiva nell’intervallo:
(-\infty, -2) \cup (-1,1) \cup (2, + \infty)
Negativa in:
(-2,-1) \cup (1,2)
- Iniettività:
La funzione non è iniettiva, infatti:
f(\pm 1) = f (\pm 2) = 0
Avendo quattro zeri, abbiamo la prova che esistono quattro ascisse diverse con la stessa immagine, in questo caso pari a 0. Motivo sufficiente per dimostrare la non iniettività della funzione.
Per completezza (a solo scopo di approfondimento) rappresentiamo il grafico della funzione:
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