Studio del segno di una funzione

In questa lezione illustreremo vari esempi di risoluzione di diversi esercizi riguardanti lo studio del segno di una funzione.

Gli esempi sono tutti spiegati in ogni singolo passaggio, così da aiutarti a comprendere ogni aspetto dell’argomento ed evitare di commettere errori.

Prenditi del tempo e osserva come procedere correttamente nello svolgimento di questa categoria di esercizi.

Dedurre il segno di una funzione dal suo grafico

Esercizio 1

Dedurre dal grafico della seguente funzione il suo dominio:

Svolgimento

Studiare il segno di una funzione vuol dire determinare per quali valori della variabile x la nostra funzione è maggiore o minore di zero ed eventualmente specificare dove essa si annulla.
Dal grafico la funzione sarà maggiore di zero negli intervalli in cui la curva è nel semipiano positivo delle y, minore invece quando la curva si trova nel semipiano negativo.

Nel nostro caso notiamo come la funzione sia positiva (o uguale a zero) per valori delle x negli intervalli:

(-\infty,2] \cup [3, +\infty)

Mentre negativa nell’intervallo:

(2,3)

Notiamo inoltre come la funzione si annulli nei valori:

x = \{1,2,3\}

Esercizio 2

Dato il grafico di questa funzione, qual è il suo dominio?

Svolgimento

Per studiare il segno della funzione, dobbiamo vedere per quali valori della variabile x la nostra funzione appartiene al semipiano positivo o negativo delle ordinate e capire anche dove si annulla.
Nel caso illustrato nel grafico, la funzione risulta essere positiva (o uguale a zero) negli intervalli:

(-\infty,-2] \cup [2, +\infty)

Risulta negativa invece negli intervalli:

(-2,-1)\cup (-1,1) \cup (1,2)

Nei punti di ascissa x = -1 e x = 1 sono presenti degli asintoti; in corrispondenza di tali punti la funzione non esiste ed è per questo motivo che essi sono ovviamente esclusi anche dallo studio del segno.

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Studiare il segno di una funzione razionale fratta

Esercizio 1

Studiare il segno della seguente funzione razionale fratta:

y =\frac{x-3}{x^2 -4x +3}

Svolgimento

Prima di procedere allo studio del segno, è sempre importante studiare il dominio della funzione.
Poiché la nostra funzione è una razionale fratta, il dominio sarà dato dall’insieme dei valori della variabile x che non annullano il denominatore, ovvero:

x^2 -4x +3 \neq 0

Per trovare i valori della x, usiamo le proprietà che legano i coefficienti del polinomio alle sue radici: stiamo cercando due numeri tali che il loro prodotto sia +3 e la cui somma cambiata di segno sia -4. I due numeri cercati saranno dunque 1 e 3, il dominio sarà:

x \neq 1 \cap x\neq 3

Dopo aver trovato il dominio, possiamo studiare il segno della funzione attraverso i seguenti passaggi:

• Studiamo il segno del numeratore:

x- 3 \geq 0

• Studiamo il segno del denominatore, ricordando che esso non può essere uguale a zero (notiamo che effettuando questo passaggio imponiamo nuovamente la condizione di esistenza sul denominatore):

x^2 -4x +3 >0

Per risolvere la prima disequazione portiamo il 3 a destra e otteniamo:

x \geq 3

Per quanto riguarda la seconda, abbiamo già trovato in precedenza le radici del polinomio di secondo grado che sono 1 e 3; facciamo allora subito il disegno della parabola:

La soluzione della disequazione è l’intervallo:

x <1 \cup x > 3

Concludiamo ora lo studio del segno della disequazione di partenza, facendo lo schema:

La nostra funzione sarà dunque maggiore di zero nell’intervallo:

1 < x < 3 \cup x > 3

risulterà negativa invece nell’intervallo:

x < 1

Notiamo come non ci siano valori in cui la funzione risulta uguale a zero.


Attenzione -> Quando dobbiamo studiare il segno di una disequazione, così come per trovarne il dominio, non dobbiamo mai semplificare il numeratore con il denominatore. Nel nostro caso il denominatore si scompone come:

x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

Semplificare il termine x – 3 sia al numeratore che al denominatore:

\frac{\color{red}{x-3}}{(x-1)\color{red}{(x-3)}}

è un errore, in quanto le funzioni:

\frac{1}{x-1}, \frac{x-3}{(x-1)(x-3)}

sono due funzioni totalmente diverse!

Esercizio 2

Studiare in quale intervallo la seguente funzione razionale fratta è positiva:

y =\frac{x^2+4}{x^3 -6x^2 + 11x - 6}

Svolgimento

Anche in questo caso, ogni qualvolta si debba determinare il segno di una funzione, come primo step bisogna sempre studiare il dominio.

Nel nostro caso la nostra funzione è una razionale fratta, dobbiamo quindi controllare per quali valori il denominatore è diverso da 0.
Il denominatore è un polinomio di terzo grado completo, proviamo a scomporlo: escludendo per evidenti motivi il raccoglimento parziale e il cubo di binomio, dobbiamo ricorrere al metodo di Ruffini.

Il termine noto risulta essere -6, i suoi divisori sono quindi:

\pm1,\pm2, \pm3, \pm 6

vediamo se, sostituendo alla x uno dei divisori, il polinomio si annulla.
Proviamo con x = 1, ottenendo:

1-6+11-6 = 0

Tale valore annulla il polinomio, possiamo affermare quindi che x = 1; è una sua radice.
Dunque, il polinomio di terzo grado possiamo scomporlo come:

(x-1)\cdot P(x)

dove P(x) è un polinomio di secondo grado, per trovarlo dobbiamo dividere il nostro polinomio di partenza per x – 1.
Effettuando la divisione con Ruffini troviamo il seguente polinomio di secondo grado:

P(x) = x^2 -5x +6

Scomponiamo P(x): per farlo dobbiamo trovare due numeri il cui prodotto è 6 e la cui somma cambiata di segno è -5, i due numeri saranno 2 e 3.

P(x) lo scomponiamo dunque come:

(x-2)(x-3)

Il denominatore sarà quindi fattorizzato nel seguente modo:

(x-1)(x-2)(x-3)

Il dominio della nostra funzione sarà dunque l’insieme:

x \neq 1 \cap x \neq 2 \cap x\neq 3

Vediamo ora per quali valori della variabile x la nostra funzione è positiva. Per farlo, poniamo prima il numeratore maggiore o uguale a zero e il denominatore maggiore di zero. Dopodiché troviamo la soluzione attraverso lo studio della tabella dei segni.

Vediamo il numeratore:

x^2 +4 \geq 0

La somma di un quadrato con un numero maggiore di zero è sempre positiva; dunque, la soluzione della prima disequazione sarà tutto l’insieme dei reali.

Studiamo ora il denominatore:

(x-1)(x-2)(x-3)  \gt 0

Per trovare la soluzione di questa disequazione, poniamo maggiore di zero i singoli fattori e poi facciamo la tabella dei segni. Le tre disequazioni sono:

x >1 \\ x >2 \\ x > 3

La tabella dei segni riferita al denominatore è:

Facciamo ora la tabella dei segni finale risolvendo le disequazioni per il numeratore e per il denominatore:

La nostra funzione sarà dunque positiva nell’intervallo:

1<x<2 \ \cup\ x>3

mentre sarà negativa nell’intervallo:

x < 1 \ \cup \ 2 < x < 3

Studiare il segno di una funzione irrazionale

Esercizio 1

Studiare il segno della seguente funzione irrazionale fratta:

y = \sqrt{\frac{x-5}{\sqrt{x-1}}}-1

Svolgimento

Prima di tutto, troviamo il dominio della nostra funzione: la funzione da studiare è una irrazionale fratta a cui è sommata una costante; per questo motivo, per trovare il dominio, dobbiamo studiare unicamente la parte irrazionale fratta.

Quest’ultima è una funzione avente una radice di indice pari al cui interno è presente un’altra radice sempre di indice pari.
Per trovare il dominio, risolviamo prima il dominio della funzione interna e mettiamolo a sistema con il dominio della parte più esterna.
Studiamo dunque il dominio di:

\sqrt{x-1}

Ricordiamo che l’unico vincolo di una funzione con radice di indice pari è avere l’argomento positivo; dobbiamo dunque imporre:

x -1 > 0 \Rightarrow x > 1

Abbiamo imposto l’argomento semplicemente maggiore e non maggiore uguale poiché la radice è presente in un denominatore.

Vediamo ora la parte esterna:

\sqrt{\frac{x-5}{\sqrt{x-1}}}

Come prima dobbiamo imporre l’argomento sotto radice (quella esterna) maggiore di zero:

\frac{x-5}{\sqrt{x-1}} \geq 0

Poniamo il numeratore maggiore o uguale a zero, ottenendo:

x \geq 5

Il denominatore risulta sempre maggiore di zero a patto che il suo argomento sia maggiore di zero. Siccome tale condizione coincide con il dominio della funzione più interna trovato in precedenza:

x > 1

Possiamo concludere subito lo studio del dominio facendo l’intersezione delle due condizioni fin qui trovate:

Il dominio sarà dunque l’intervallo:

x \geq 5

A questo punto possiamo procedere allo studio del segno della funzione di partenza, portando la costante a destra:

\sqrt{\frac{x-5}{\sqrt{x-1}}} \geq 1

Avendo già imposto la condizione di esistenza sull’argomento della radice, possiamo elevare entrambi i membri al quadrato:

\frac{x-5}{\sqrt{x-1}} \geq 1

Entrambi i membri di questa nuova disequazione sono sicuramente positivi (tenendo sempre conto delle CE effettuate in precedenza). Eleviamo quindi nuovamente al quandrato senza problemi:

\frac{(x-5)^2}{x-1} \geq 1

portiamo la costante a sinistra ed effettuiamo il minimo comun denominatore:

\frac{(x-5)^ 2 -x +1}{x-1} \geq 0

semplificando ed effettuando i calcoli otteniamo:

\frac{x^ 2 - 11 x + 26}{x-1} \geq 0

Poniamo numeratore e denominatore maggiore di zero.
Partiamo dal denominatore, il quale è più semplice da studiare, portiamo la costante a destra e otteniamo:

x > 1

Per il numeratore risolviamo l’equazione associata:

x^ 2 - 11x + 26 =0

Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado e otteniamo:

x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{17}}{2}

Ora per risolvere la disequazione disegniamo la parabola:

La soluzione sarà:

x \leq \frac{11 - \sqrt{17}}{2} \cup x \geq \frac{11 + \sqrt{17}}{2}

Facciamo la tabella dei segni tra il numeratore e denominatore:

La funzione sembrerebbe essere positiva (o uguale a zero) nell’intervallo:

{\small 1 < x \leq \frac{11 - \sqrt{17}}{2} \cup x \geq \frac{11 + \sqrt{17}}{2}}

Ma c’è ancora un passaggio da effettuare; dobbiamo mettere a sistema il risultato ottenuto con il dominio trovato:

Possiamo dunque concludere che la nostra funzione è positiva o uguale a zero se:

x \geq \frac{11 + \sqrt{17}}{2}

Mentre sarà negativa quando:

5 \leq x < \frac{11 + \sqrt{17}}{2}

Studiare il segno di una funzione logaritmo

Esercizio 1

Stabilire per quali valori della x la seguente funzione è positiva e per quali invece risulta negativa:

y = ln \left(  \frac{x-4}{x^2 -4}\right)

Svolgimento

Come al solito, troviamo prima di tutto il dominio della nostra funzione: abbiamo una funzione logaritmo, per questo motivo dobbiamo imporre il vincolo dell’argomento maggiore di zero:

\frac{x-4}{x^2-4} >0

Studiando il segno del numeratore troviamo:

x > 4

Le radici associate al polinomio a denominatore sono ±2. Facendo lo schema della disequazione di secondo grado:

x^2 -4 >0

Troviamo la soluzione della disequazione attraverso la tabella dei segni del numeratore e denominatore:

Il dominio della funzione sarà dato dall’intervallo positivo, ovvero:

-2 < x < 2 \cup x > 4

Teniamo questa informazione in mente e proseguiamo con la risoluzione dell’esercizio.

Per trovare il segno della funzione di partenza, imponiamo la sua espressione maggiore o uguale a zero:

ln \left( \frac{x-4}{x^2-4}\right) \geq 0

Procediamo con la disequazione, applicando la definizione di logaritmo:

\frac{x-4}{x^2-4} \geq e^0 \Rightarrow \frac{x-4}{x^2 -4} \geq 1

portiamo la costante a sinistra ed effettuiamo il minimo comune multiplo:

\frac{x-4-x^2+4}{x^2-4} \geq 0

semplificando e cambiando segno otteniamo:

\frac{x^2-x}{x^2-4} \leq 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

Possiamo riscrivere il numeratore come:

x(x-1)

Le due soluzioni dell’equazione associata sono quindi:

x =0 \cup x =1

Pertanto il segno della parabola x² – x sarà:

Il denominatore l’avevamo svolto precedentemente, ottenendo il seguente schema dei segni:

Facciamo la tabella dei segni tra numeratore e denominatore:

Il segno che stiamo cercando è quello negativo, in virtù del cambio di segno effettuato nel passaggio precedente. La soluzione è quindi:

-2 < x \leq 0 \cup 1 \leq x < 2

Tale intervallo rappresenta dunque l’insieme soluzione della disequazione logaritmica:

ln \left(\frac{x-4}{x^2 -4}\right) \geq 0

Esso coincide quindi con l’intervallo in cui l’espressione logaritmica data è positiva o uguale a 0.

Ma c’è ancora un passaggio da fare prima di stabilire il segno definitivo della nostra funzione: mettere a sistema il risultato ottenuto con il vincolo del dominio:

La funzione iniziale sarà dunque positiva o uguale a zero nell’intervallo:

-2 < x \leq 0 \cup 1 \leq x < 2

Mentre sarà negativa in;

0 < x < 1 \cup x>4

Studiare il segno di una funzione goniometrica

Esercizio 1

Stabilire per quali valori della variabile x la seguente funzione è positiva:

y = \cos x - 2 \cos^ 2x

Svolgimento

Studiamo il dominio della nostra funzione; in questo caso abbiamo somme di funzioni trigonometriche, le quali non aggiungono alcun vincolo alla condizione di esistenza, motivo per il quale il dominio della nostra funzione coincide con tutto l’insieme R.

Ora iniziamo lo studio del segno della funzione, partendo dalla fattorizzazione. Raccogliamo il fattore cos(x):

\cos x(1 - 2 \cos x) \geq 0

Risolviamo la disequazione per i singoli fattori e infine troviamo la soluzione attraverso la tabella dei segni.
Procediamo con lo studiare il segno del primo fattore:

\cos x \geq 0

Disegniamo la circonferenza goniometrica e vediamo per quali valori delle x soddisfiamo la nostra condizione:

come possiamo notare, la disequazione è soddisfatta nell’intervallo:

2 \pi k \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2 \pi k\\
\cup \\
\frac{3 \pi}{2}  + 2 \pi k\leq x \leq 2\pi + 2 \pi k

Risolviamo ora la seconda disequazione:

(1 - 2 \cos x ) \geq 0

Portiamo la costante a destra, dividiamo ambo i membri per -2 e cambiamo segno, ottenendo:

\cos x \leq \frac{1}{2}

Rappresentiamo questa condizione sulla circonferenza goniometrica:

La disequazione è soddisfatta nell’intervallo:

\frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leq x \leq \frac{5}{3} + 2 \pi k

Ora mettiamo insieme le due disequazioni nella circonferenza goniometrica e troviamo in quale intervallo la funzione è positiva:

Notiamo che la nostra funzione risulta positiva nell’intervallo:

\frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \\
\cup \\
\frac{3}{2} \pi + 2 \pi k \leq x \leq \frac{5}{3} \pi + 2 \pi k

Adesso che hai a portata di mano diversi esempi di esercizi sul segno di una funzione, spero potrai procedere con più sicurezza e, se hai altre domande al riguardo, ricorda che la community di My Digital Prof è a tua disposizione!

Accedendo alla chat gratuita potrai fare domande sottoponendo gli esercizi in cui hai difficoltà ai nostri tutor sempre disponibili.