Vuoi capire come individuare gli zeri di una funzione?
Questo articolo ti mostrerà come svolgere alcuni esercizi chiave e le tecniche più efficaci per affrontare l’argomento.
Troverai molti validi esempi per esercitarti sugli zeri (detti anche radici) di funzioni razionali e irrazionali, sulle radici di funzioni esponenziali e logaritmiche, nonché sulle radici di funzioni goniometriche.
Mettiti comodo allora e osserva come risolvere gli esercizi passaggio dopo passaggio, senza commettere errori.
Dedurre gli zeri di una funzione dal suo grafico
Esercizio 1
Dedurre dal grafico gli zeri della funzione:
Svolgimento
Gli zeri di una funzione, detti anche radici di una funzione, sono l’insieme dei valori della variabile x che annullano la funzione, ovvero tutte le x0 tali che:
f\left(x_0\right)=0
Dobbiamo quindi trovare in quali punti la nostra funzione interseca l’asse delle x.
Ti starai chiedendo, perché proprio l’asse delle x?
Notiamo che l’asse delle x coincide con la retta di equazione
\left(-1,0\right),\left(0,0\right),\left(1,0\right)
Attenzione però! il punto (-1,0) non è incluso, fatto evidenziato dal pallino vuoto nel grafico, per questo motivo le uniche radici saranno:
x=0\ \cup \ x=\ 1
Esercizio 2
Dato il grafico di questa funzione, individuane gli zeri.
Svolgimento
Per trovare gli zeri della funzione, vediamo in quali punti la curva rappresentata interseca l’ascissa.
Notiamo, prima di tutto, che il dominio della nostra funzione è limitato tra i valori:
\left[-\pi,\pi\right]
E la curva interseca l’asse x in 3 punti. Anche in questo caso prestiamo attenzione al fatto che il punto:
\left(\frac{\pi}{4},0\right)è escluso dal dominio e quindi non può essere un valore per cui la funzione si annulla.
Le radici della funzione rappresentata sono:
x=0\ \cup\ x=\pm\pi
Esercizio 3
Dato il grafico della funzione:
f\left(x\right)=e^x
Trovare graficamente le radici (o zeri) della funzione:
{f\left(x\right)=e}^x-3x\ Svolgimento
Questo problema inizialmente potrebbe sembrarti difficile, ma vediamo come possiamo risolverlo un passo alla volta.
Prima di tutto ripensa un attimo a cosa vuol dire graficamente trovare le radici di una funzione e cioè:
“Trovare in quali punti la funzione interseca l’asse x“
Quello che facciamo quindi, in termini matematici, è mettere a sistema le funzioni analitiche che vogliamo intersecare, ovvero l’asse x e la nostra funzione di partenza:
\begin{cases}
y = f(x) \\
y = 0
\end{cases}Dopodiché non facciamo altro che uguagliare, con il metodo del confronto, le espressioni delle due funzioni stesse:
f\left(x\right)=0
La soluzione di questo sistema, ci permette di trovare i punti di incontro tra la nostra f(x) e l’asse delle x, appunto.
Tornando al nostro esercizio, trovare le radici della funzione:
f\left(x\right)=e^x-3x
Equivale ad annullare la funzione stessa:
f\left(x\right)=0
Quindi, sostituendo:
{0=e}^x-3xe^x=3x
Non è possibile risolvere questa equazione isolando la x con i metodi analitici fin qui noti. Per questo motivo, non possiamo far altro che ricorrere a una risoluzione di tipo grafico.
Osserviamo che la nostra equazione mette a confronto, uguagliandole, due funzioni distinte:
f\left(x\right)=e^x,\ \ \ g\left(x\right)=3x
Analiticamente, uguagliare due funzioni, come detto in precedenza, equivale a trovare i punti in cui queste due funzioni si intersecano.
Non potendo ricorrere ad alcun metodo analitico, per trovare la soluzione basterà semplicemente disegnare la retta:
y=3x
E vedere se e in quanti punti interseca la funzione esponenziale data.
Così facendo, tracciando le due figure in maniera opportuna e in scala, otterremo la seguente figura:
Come puoi vedere, le radici della funzione x1,2 possono essere espresse solamente attraverso un’approssimazione che sarà tanto buona quanto meglio riuscirai a disegnare le funzioni date.
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Radici di funzioni razionali
Esercizio 1
Trovare le radici della seguente funzione razionale:
y=\frac{x^2-6x\ -7}{x^2-1}Svolgimento
Prima di tutto troviamo la condizione di esistenza: quella proposta è una funzione razionale fratta. Il numeratore è un polinomio e non aggiunge alcuna restrizione al dominio; dobbiamo quindi imporre solamente la condizione sul denominatore:
x^2-1\neq0
Questa espressione, volendo risolverla senza ricorrere all’equazione di secondo grado, si riconduce a una somma per differenza:
\left(x-1\right)\left(x+1\right)\neq0
Dunque, sarà:
D:\ x\neq\pm1
Per trovare le radici dobbiamo imporre:
\frac{x^2-6x-7}{x^2-1}=0Poiché abbiamo imposto la condizione di esistenza, possiamo eliminare il denominatore, ottenendo:
x^2-6x-7=0
Troviamo due numeri il cui prodotto è -7 e la somma cambiata di segno è -6, i due numeri saranno: 7, -1 e corrispondono alle radici della funzione.
Vediamo il dominio: abbiamo imposto
x=7
Radici di funzioni irrazionali
Esercizio 1
Trovare le radici (o zeri) della seguente funzione:
y=\sqrt{16-\left|x-1\right|}Svolgimento
Prima di procedere con la risoluzione, troviamo le condizioni di esistenza della funzione: in questo caso abbiamo una funzione irrazionale di indice pari, per questo motivo dobbiamo imporre l’argomento maggiore o uguale a 0:
16-\left|x-1\right|\geq0
Portiamo il 16 a destra e cambiamo segno:
\left|x-1\right|\le16
Ora abbiamo una disequazione con valore assoluto; ricordiamo che questo tipo di disequazione si risolve imponendo (con k numero positivo):
\left|f\left(x\right)\right|\le k\Rightarrow-k\le f\left(x\right)\le k
Dobbiamo imporre:
-16\le x-1\le16
Portiamo il -1 a destra e sinistra, ottenendo il dominio:
-15\le x\le17
A questo punto, per trovare gli zeri, possiamo risolvere l’equazione:
\sqrt{16-\left|x-1\right|}=0Per arrivare alla soluzione di questa equazione, avendo già trattato la C.E. sul radicando, basterà imporre uguale a zero il radicando stesso:
16-\left|x-1\right|=0
Ricordiamo che con k numero positivo:
\left|f\left(x\right)\right|=k\Rightarrow f\left(x\right)=\pm k
Dunque:
\left|x-1\right|=16\Rightarrow x-1=\pm16
Otteniamo dunque:
x=17\ \cup\ x=-\ 1 5
Questi valori rientrano nella condizione di esistenza imposta, quindi sono entrambi radici della funzione.
Radici di funzioni esponenziali e logaritmiche
Esercizio 1
Trovare gli zeri della funzione:
y=2^\frac{4x\ -3}{x+1}-\sqrt2Svolgimento
Come sempre, prima di trovare gli zeri della funzione, cerchiamo il dominio; l’unico vincolo è dato dalla funzione all’esponente:
\frac{4x-3}{x+1}È una funzione fratta, dobbiamo dunque imporre che il denominatore sia diverso da 0:
x+1\neq0\Rightarrow x\neq-1
Troviamo ora le radici della funzione, imponendo:
2^\frac{4x-3}{x+1}-\sqrt2=0Trasformiamo √2 come:
2^\frac{1}{2}Portiamolo a destra e troviamo:
2^\frac{4x-3}{x+1}=2^\frac{1}{2}La base è la stessa, quindi dobbiamo uguagliare gli esponenti:
\frac{4x-3}{x+1}=\frac{1}{2}Facciamo il minimo comune multiplo:
\frac{8x-6}{2(x+1)}=\frac{x+1}{2(x+1)}8x-6=x+1
Isoliamo le x dal resto e, semplificando, otteniamo:
7x=7
ovvero:
x=1
La soluzione trovata rientra nel dominio, quindi è una radice della funzione.
Esercizio 2
Trovare gli zeri della funzione:
y=\frac{3^x-9^{2x+1}}{3^x-9\sqrt3}Svolgimento
L’unico vincolo sul dominio è dato dal denominatore. Dobbiamo quindi imporre che sia diverso da 0, ovvero:
3^x-9\sqrt3\neq0
Trasformiamo:
9\sqrt3=3^2\cdot3^\frac{1}{2}=3^\frac{5}{2}Abbiamo sfruttato la seguente proprietá delle potenze:
a^x\cdot a^y=a^{x+y}Otteniamo:
3^x\neq3^\frac{5}{2}Poiché la base è la stessa, uguagliamo gli esponenti e otteniamo il dominio:
x\neq\frac{5}{2}A questo punto troviamo le radici della funzione.
Per farlo, imponiamo l’annullamento della funzione stessa:
\frac{3^x-9^{2x+1}}{3^x-9\sqrt3}=0Poiché abbiamo già trovato il dominio imponendo la condizione di esistenza sul denominatore, possiamo semplificarlo ottenendo:
3^x-9^{2x+1}=03^x=9^{2x+1}Trasformiamo l’elemento a destra dell’uguale in base 3, riscrivendolo come:
{9^{2x+1}=3}^{4x+2}e riportiamolo nell’equazione:
3^x=3^{4x+2}Poiché la base è la stessa, uguagliamo gli esponenti:
x=4x+2
Isoliamo la variabile x, semplifichiamo e cambiamo segno:
3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}La radice trovata rientra all’interno della condizione di esistenza, quindi possiamo accettarla.
Radici di funzioni goniometriche
Esercizio 1
Trovare gli zeri della funzione:
y=4\sqrt{9-3{\tan}^2{x}}Svolgimento
Troviamo il dominio della funzione; essa è una funzione irrazionale nel cui argomento appare una funzione goniometrica.
Poiché l’indice della radice è pari, per trovare il dominio dobbiamo imporre l’argomento maggiore o uguale di 0:
9-3{\tan}^2{x}\geq0Semplifichiamo e cambiamo segno:
3{\tan}^2{x\ }-9\le0{\tan}^2{x}-3\le0Usiamo una variabile ausiliaria:
t=\tan{x }otteniamo:
t^2-3\le0
La soluzione dell’equazione associata è:
t=\pm\sqrt3
Poiché abbiamo il segno ≤, consideriamo valori interni:
-\sqrt3\le t\le\sqrt{3 }Ricordando che:
t=\tan{x}dobbiamo risolvere:
-\sqrt3\le \tan{x}\le\sqrt3Ricordiamo che:
\tan{x}=\pm\sqrt3\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi(ricordiamo che la funzione tan(x) è una funzione periodica di periodo π).
Per risolvere la disequazione goniometrica, disegniamo la circonferenza goniometrica e individuiamo, con il colore blu, le parti di arco che soddisfano la disequazione:
k\pi\le x\le\frac{\pi}{3}+k\pi\ \cup \frac{2\pi}{3}+k\pi\le x\le\pi+k\pi Ora che abbiamo trovato il dominio, cerchiamo le radici della funzione; per farlo, dobbiamo risolvere la seguente equazione:
4\sqrt{9-3{\tan}^2{x}}=0Poiché abbiamo giá studiato il dominio, possiamo semplificare il 4 ed elevare al quadrato ambo i membri, ottenendo:
9-3{\tan}^2{x}=0{\tan}^2{x}=3\tan{x}=\pm\sqrt3Le soluzioni di questa equazione sono:
x=\pm\frac{\pi}{3}+k\piChe rientrano nel dominio studiato, quindi accettabili come zeri della funzione.
Spero che gli esercizi proposti qui siano stati d’aiuto per comprendere meglio l’argomento.
Ricorda che la community di
