Funzioni pari e dispari

In questa lezione andremo ad affrontare l’argomento delle funzioni pari e dispari.
Analizzeremo diversi esempi di funzione partendo dalla loro forma grafica o analitica, andando poi a definirne parità e disparità grazie all’uso di alcune tecniche specifiche.

Studiare la parità e disparità di una funzione a partire dal grafico

Esercizio 1

Dato il grafico della seguente funzione, determinarne il dominio, l’immagine, eventuali radici, segno ed eventuali parità o disparità.

Sapendo che f(5) = 16, è possibile conoscere f(-5)?

Svolgimento

La funzione rappresentata nel grafico è definita per ogni valore di x, pertanto il suo dominio coincide con l’insieme R.

L’immagine è data dall’insieme [-4, +∞), cioè l’intervallo delle ordinate i cui elementi presentano tutti almeno un’ascissa corrispondente (il punto x = 0 rappresenta un minimo assoluto della funzione).

La funzione inoltre ha due radici (o zeri) nei punti di ascissa x = ±2.

Essa risulta positiva all’interno dell’intervallo:

( - \infty, -2) \cup (2, + \infty)

Mentre è negativa nell’intervallo:

(-2,2)

Come possiamo notare, la nostra funzione è pari, poiché risulta del tutto simmetrica rispetto all’asse y.

Se una funzione è pari, allora per definizione abbiamo:

f(-x) = f(x)

Per questo motivo, poiché f(5) = 16, sfruttando la definizione appena citata, possiamo affermare che:

f(-5) = 16

Esercizio 2

Dato il grafico della seguente funzione, determinarne il dominio, l’immagine, eventuali radici, segno ed eventuali parità o disparità.

Sapendo che:

f(-8) = - 2 - 24 \sqrt{7}

è possibile conoscere il valore di f(8)?

Svolgimento

La seguente funzione, come possiamo notare dall’insieme dei valori di x che presentano un’immagine, ha come dominio:

D: \ (-\infty,-1] \cup [1, + \infty)

In questo caso l’immagine coincide, casualmente, con il dominio:

I: \ (-\infty,-1] \cup [1, + \infty)

La funzione non presenta radici (o zeri), poichè la curva rappresentata non intercetta l’asse delle ascisse in alcun punto.

Dal grafico possiamo dedurre che la funzione risulta positiva per x ≥ 1 e negativa invece per x ≤ -1.

La funzione risulta essere simmetrica rispetto all’origine, per questo motivo è una funzione dispari.

Ricordiamo che una funzione risulta dispari se:

f(-x) = - f(x)

Conoscendo quindi il valore di f(-8), sfruttando la proprietà appena citata, possiamo concludere che:

f(-8) = - f(8)

f(8) = - f(-8)

Ovvero:

{\small f(8) = - (-2 - 24 \sqrt{7}) = 2 + 24 \sqrt{7}}

Esercizio 3

Dato il grafico della seguente funzione, determinare il dominio, l’immagine, eventuali radici, segno e infine stabilire se essa presenta parità o disparità.

Sapendo che f(6) = 8, è possibile conoscere il valore di f(-6)?

Svolgimento

La funzione proposta ha come dominio l’intero insieme R, l’immagine invece è data dall’insieme [-1 , +∞) (notiamo come la funzione presenti due minimi globali nei punti di ascissa x = {3, 5}).

La funzione interseca l’asse delle ascisse in due punti; le radici della funzione sono dunque:

x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{2}

Dal grafico notiamo come essa sia positiva nell’intervallo:

( - \infty, 4 - \sqrt{2}) \cup (4 + \sqrt{2}, + \infty)

È negativa invece nel seguente intervallo:

(4 - \sqrt{2}, 4) \cup (4, 4 + \sqrt{2})

In questo caso la funzione non risulta essere né pari né dispari, in quanto non presenta simmetrie particolari; per questo motivo non possiamo dire nulla sul valore di f(-6).


Approfondimento -> Come detto in precedenza, la funzione rappresentata nel grafico non risulta avere parità.
Attraverso una trasformazione geometrica, possiamo cercare di ottenere comunque una funzione che sia pari.
Vediamo come.

Come notiamo, la nostra funzione è simmetrica rispetto all’asse x = 4:

Possiamo quindi pensare a una traslazione di vettore che sposti l’intera curva a sinistra di quattro unità:

\vec{v} = (-4, 0)

La funzione tratteggiata iniziale è la seguente (ne riportiamo qui la forma analitica per poter applicare la traslazione):

f(x) = (x-4)^4 - 2(x-4)^2

Attraverso la traslazione di vettore v, otteniamo una nuova funzione:

\hspace{-0.5em}g(x) = (x \textcolor{red}{+4} -4)^4 - 2(x \textcolor{red}{+4} -4)^2

g(x) = x^4 - 2x^2

La funzione g risulta pari, infatti, per ogni valore di x appartenente al suo dominio:

{\small g(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2}

g(-x) = g(x)

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Studiare parità e disparità di una funzione a partire dalla sua forma analitica

Esercizio 1

Data la seguente funzione:

y = x^4 + x^2 + 5

Stabilire se è pari, dispari o nessuna delle due.

Svolgimento

Per rispondere a questo quesito, dobbiamo prima di tutto ricordarci la definizione di funzione pari e dispari:

• Una funzione f(x) è pari ⇔ f(x) = f(-x)
• Una funzione f(x) è dispari ⇔ f(x) = -f(-x)

Quindi, per stabilire l’eventuale parità o disparità, dobbiamo prima effettuare la sostituzione x → -x:

y(x) = x^4 + x^2 + 5

y(-x) = (-x)^4 + (-x)^2 + 5 =

= x^4 + x^2 +5

Dunque, abbiamo:

y(x) = y(-x)

Possiamo quindi concludere che la funzione proposta è pari.

Per concludere, a solo scopo di approfondimento, riportiamo il grafico della funzione proposta:

Esercizio 2

Data la seguente funzione:

y = \sqrt[3]{x} + x^3 +c, \ c\in \mathbb{R}

Stabilire, se esistono, quali sono i valori della costante c che rendono la funzione pari, oppure dispari.

Svolgimento

Per studiarne l’eventuale parità, dobbiamo imporre la definizione di funzione pari:

y(-x) = y(x)

Quindi:

\sqrt[3]{-x} + (-x)^3+ c = \sqrt[3]{x} + x^3 + c

- \sqrt[3]{x} - x^3+ c = \sqrt[3]{x} + x^3 + c

Notiamo subito come in questa equazione la nostra c vada addirittura a semplificarsi, rendendo impossibile la sua individuazione. Ne deduciamo che la funzione studiata non può essere pari per nessun valore di c.

Imponiamo ora la definizione di funzione dispari:

y(x) = - y(-x)

Quindi:

\sqrt[3]{x} + x^3 + c = - (- \sqrt[3]{x} - x^3 + c)

\sqrt[3]{x} + x^3 +c = \sqrt[3] {x} + x^3 -c

Semplificando, i termini contenenti la variabile x vanno via e la nostra equazione diventa:

2c = 0  \to c = 0

Ciò significa che la funzione studiata risulta essere dispari per un valore di c pari a 0.

Per completezza e con il solo scopo di approfondimento, riportiamo il grafico della nostra funzione dispari, per c = 0:

Esercizio 3

Data la seguente funzione:

y = (x-1)^4 + (x-1)^2

Stabilire se essa è pari, dispari o nessuna delle due.
Se non presenta parità o disparità, è possibile, attraverso opportune trasformazioni geometriche, trasformarla in una funzione pari o dispari?

Svolgimento

Per studiare la parità e disparità della funzione, ricorriamo innanzitutto alla trasformazione x → -x:

y (x)= (x-1)^4 + (x-1)^2

y(-x) = (-x-1)^4 + (-x-1)^2 =

= (x+1)^4 + (x+1)^2

Ne concludiamo che la funzione non presenta alcuna parità o disparità.

Vediamo se con una trasformazione geometrica possiamo rendere la nostra funzione pari o dispari.
La funzione proposta è una somma di funzioni con potenze pari, aventi lo stesso argomento x – 1.
Proviamo quindi a trasformare x – 1 in x. Per ottenerla, effettuiamo una traslazione di vettore:

\vec{v} = (\textcolor{red}{-1},0)

In questo modo otteniamo una nuova funzione:

g(x) = (x \textcolor{red}{+1} -1)^4 + (x \textcolor{red}{+1} -1)^2

g(x) = x^4 + x^2

Usiamo ora la definizione di parità ed effettuiamo la trasformazione x → -x:

g(-x) = (-x)^4 + (-x)^2  =

=  x^4 + x^2

Quindi abbiamo dimostrato che:

g(-x) = g(x)

Per questo motivo, la nuova funzione ottenuta attraverso la traslazione è pari.

A puro scopo informativo, riportiamo il grafico delle funzioni f(x) e g(x):

Dimostrare teoremi sulle funzioni pari e dispari

Esercizio 1

Date due funzioni f e g, entrambe pari, dimostrare che la funzione:

f + g

è anch’essa pari.

In tal senso, stabilisci anche cosa si può affermare sulla funzione:

f - g

Se invece le funzioni sono dispari, cosa otteniamo?

Svolgimento

Per dimostrare che la funzione somma (che chiameremo s) di due funzioni pari f e g:

s(x) = f(x) + g(x)

risulta anch’essa pari, dobbiamo riuscire a dimostrare che:

s(-x) = s(x)

Per arrivare a dimostrare questo, dobbiamo partire dalla proprietà che accomuna le funzioni pari.
Possiamo infatti affermare che:

f(-x) = f(x) \\
g(-x) = g(x)

Sommando membro a membro le due equazioni, risulta:

f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x)

Affermando poi con certezza che:

f(-x) + g(-x) = s( -x) 

Arriviamo a concludere che:

s(-x) = s(x)

Possiamo dunque concludere che la somma di due funzioni pari è anch’essa una funzione pari.

Se abbiamo invece una funzione differenza di due funzioni pari:

d(x) = f(x) - g(x)

Sfruttando un ragionamento analogo a quello utilizzato in precedenza, avremo che:

f(-x) - g(-x) = f(x) - g(x)

Inoltre, possiamo affermare con certezza che:

f(-x) - g(-x) = d(-x)

Quindi:

d(-x) = d(x)

Abbiamo così dimostrato che la differenza di due funzioni pari risulta anch’essa pari.

Vediamo ora cosa succede quando le due funzioni sono dispari.
La somma z di due funzioni dispari è definita come:

z(x) = f(x) + g(x)

Ricorriamo alla definizione di funzioni dispari:

f(-x) = -f(x) \\
g(-x) = - g(x)

Ciò significa che sommandole abbiamo:

f(-x)  + g(-x) = - f(x) - g(x) =

= - [f(x) + g(x)] = -z(x)

Ricordando che:

f(-x) + g(-x) = z(-x)

Arriviamo a scrivere la seguente relazione:

z(-x) = - z(x)

Abbiamo così dimostrato che la somma di due funzioni dispari è una funzione anch’essa dispari.

Se andiamo a studiare invece la differenza h di due funzioni dispari:

h(x) = f(x) - g(x)

Sfruttando un ragionamento analogo a quello precedente, avremo che:

f(-x) - g(-x) = - f(x) + g(x) =

= - [f(x) - g(x)] = - h(x)

Ricordando che:

f(-x) - g(-x) = h(-x)

Concludiamo che la funzione h, differenza di due funzioni dispari, è anch’essa dispari:

h(-x) = - h(x)

Esercizio 2

Date due funzioni f e g, entrambe pari, dimostrare che la funzione:

f \cdot g

è anch’essa pari.

• Se invece le funzioni sono dispari, cosa otteniamo?
• Supponiamo invece f pari e g dispari; il prodotto delle due funzioni è pari, dispari o nessuna delle due?
• Se invece del prodotto effettuiamo il quoziente, cosa otteniamo?

Svolgimento

Per dimostrare che la funzione prodotto p di due funzioni pari f e g:

p(x) = f(x) \cdot g(x)

risulta anch’essa pari, dobbiamo arrivare a dimostrare che:

p(-x) = p(x)

Per arrivare a dimostrare ciò, dobbiamo partire dalla proprietá caratteristica delle funzioni pari.

f(-x) = f(x) \\
g(-x) = g(x)

Da qui, risulta la seguente relazione:

{\small f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x)=p(x)}

Sapendo inoltre che:

f(-x) \cdot g(-x) = p(-x)

Arriviamo a concludere che:

p(-x) = p(x)

Possiamo dunque concludere che il prodotto di due funzioni pari è anch’esso una funzione pari.

Andiamo ora a vedere cosa succede al prodotto P di due funzioni dispari:

P(x) = f(x) \cdot g(x)

Ricordando che le due funzioni dispari presentano le seguenti caratteristiche:

f(-x) = - f(x)\\
g(-x) = - g(x)

Sfruttando un ragionamento analogo a quello utilizzato in precedenza, avremo che:

f(-x) \cdot g(-x) = - f(x) [-g(x)] =

= f(x) \cdot g(x) = P(x)

E considerando sempre valida la relazione:

f(-x) \cdot g(-x) = P(-x)

Concludiamo che:

P(-x) = P(x)

Abbiamo così dimostrato che il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.

Se f invece risulta pari, mentre g è dispari, andiamo a vedere cosa succede al loro prodotto (qui chiamato m):

m = f(x) \cdot g(x)

Qui le relazioni valide per le due funzioni sono:

f(-x) = f(x) \\
g(-x) = - g(x)

Dunque, possiamo affermare che:

f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot [-g(x)] =

= -f(x) \cdot g(x) = -m(x)

Siccome:

f(-x) \cdot g(-x) = m(-x)

Allora:

m(-x) = - m(x)

Dimostrando così che il prodotto di una funzione pari e una dispari è una funzione dispari.


Se consideriamo infine il quoziente tra due funzioni:

q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \ g(x) \neq 0

Possiamo fare considerazioni del tutto analoghe al caso riguardante il prodotto tra due funzioni.

Ricordando innanzitutto che:

\frac{f(-x)}{g(-x)} = q(-x)

• Se entrambe le funzioni sono pari avremo:

q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)

Il quoziente di due funzioni pari è quindi pari;

• Se entrambe le funzioni sono dispari avremo:

q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{- f(x)}{- g(x)} = q(x)

Il quoziente di due funzioni dispari è quindi di nuovo pari;

• Se f è pari e g è dispari:

q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{- g(x)} = -q(x)

In quest’ultimo caso, il rapporto tra una funzione pari e una dispari risulta dispari.

La lezione sulle funzioni pari e dispari finisce qui. Hai tratto beneficio da questo articolo?

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