Periodo di una funzione

Ti stai esercitando sul periodo delle funzioni e sei in cerca di ulteriori esempi?

In questa lezione capiremo come studiare le funzioni in modo da individuarne velocemente il periodo analizzandone il grafico, oppure la forma analitica.

Stabilire se una funzione è periodica a partire dal grafico

Esercizio 1

Dato il grafico della seguente funzione, determinare dominio, immagine, eventuali zeri e possibili parità o disparità.

La funzione è periodica? In caso affermativo, indicare il periodo.

Svolgimento

  • Studio del dominio e dell’immagine:

La funzione ha come dominio tutto l’insieme R. L’immagine invece coincide con l’insieme:

I \equiv \{-1,1\}
  • Studio degli zeri e segno della funzione:

La funzione non ha alcuna intersezione con l’asse delle x, dunque non presenta alcuno zero.

La funzione è positiva nell’intervallo:

\frac{3}{2}(2k) < x < \frac{3}{2}(2k +1), \ k \in \mathbb{Z}

Negativa nell’intervallo:

\frac{3}{2}(2k+1) < x < \frac{3}{2}(2k +2), \ k \in \mathbb{Z}
  • Parità e disparità:

La nostra funzione è simmetrica rispetto all’origine, dunque è dispari.

  • Periodicità:

Una funzione è periodica di periodo T se viene verificata la seguente condizione:

f(x+T) = f(x), \ \forall x \in D

Per individuare il periodo di una funzione cha sappiamo essere periodica, in questo caso è sufficiente notare ogni quanto si ripete un massimo o un minimo.
Nel nostro caso notiamo come massimo e minimo si ripetano, costantemente e con le stesse modalità, con periodo 3, infatti:

f(x+3) = f(x)

Per approfondire -> La funzione proposta è un’onda quadra.
La sua forma analitica (espressa attraverso funzioni goniometriche) è:

f(x) = sgn \left( \sin \frac{2\pi x}{T}\right)

Nel nostro caso T = 3.

Esercizio 2

Dato il grafico della seguente funzione, determinare dominio, immagine, eventuali zeri e segno, infine stabilire la presenza di possibili parità o disparità.
La funzione è periodica? In caso affermativo, indicare il periodo.

Svolgimento

  • Studio del dominio e dell’immagine:

La funzione ha come dominio tutto l’insieme R. L’immagine invece coincide con l’insieme:

I \equiv [-1,1]
  • Studio degli zeri e segno della funzione:

La funzione interseca l’asse delle ascisse nei punti:

x = k, \ k \in \mathbb{Z}

La funzione è positiva nell’intervallo:

(2k) < x < (2k +1), \ k \in \mathbb{Z}

Negativa nell’intervallo:

(2k +1) < x < (2k +2), \ k \in \mathbb{Z}
  • Parità o disparità:

La funzione è simmetrica rispetto l’orgine, dunque risulta dispari.

  • Periodicità:

Notiamo come la funzione sia periodica con periodo 2, infatti si verifica che:

f(x+2) = f(x)

Per approfondire -> La funzione proposta è un’onda triangolare.
La sua forma analitica è:

f(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sin \frac{2\pi x}{T}\right)

Nel nostro caso T = 2.

Esercizio 3

Dato il grafico della seguente funzione, determinare dominio, immagine, eventuali zeri e segno, infine stabilire la presenza di possibili parità o disparità.
La funzione è periodica? In caso affermativo, indicarne il periodo.

Svolgimento

  • Studio del dominio e dell’immagine:

La funzione ha come dominio l’intero insieme dei numeri reali R. L’immagine invece coincide con l’insieme:

I \equiv (-1,1]
  • Studio degli zeri e segno della funzione:

La funzione interseca l’asse delle ascisse nei punti:

x = 3k, \ k\in \mathbb{Z}

I quali coincidono con le radici (o zeri) della funzione stessa.

Per quanto riguarda il segno, la funzione è positiva nell’intervallo:

\frac{3}{2}(2k) < x  < \frac{3}{2}(2k+1), \ k \in \mathbb{Z}

Negativa nell’intervallo:

\frac{3}{2}(2k +1) < x  < \frac{3}{2}(2k+2), \ k \in \mathbb{Z}
  • Parità o disparità:

La nostra funzione è simmetrica rispetto all’origine, dunque è dispari.

  • Periodicità:

Osserviamo come la funzione si ripeta periodicamente con lo stesso andamento, con periodo uguale a 3, infatti:

f(x+3) = f(x)

Per approfondire -> La funzione proposta è un tipo di onda cosiddetta a dente di sega.
La sua forma analitica è:

f(x) = 2 \left( \frac{x}{T} - \left \lfloor \frac{1}{2} + \frac{x}{T} \right\rfloor\right)

Nel nostro caso T = 3.

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Studiare il periodo della funzione a partire dalla sua forma analitica

Esercizio 1

Data la seguente funzione:

f(x) = 2 + \sin(5x -3)

Studiare il dominio, l’immagine, gli zeri e il periodo.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione da studiare è composta dalla somma di una funzione seno e una costante additiva.

Il dominio della funzione “seno” coincide con tutto l’insieme R, dunque il dominio di f(x) coincide con l’insieme dei numeri reali R.

La funzione seno, di per sè, è sempre limitata tra i valori [-1, 1]; poichè la nostra funzione risulta traslata di 2 unità in verticale rispetto all’asse delle ordinate, la sua immagine coincide con l’insieme:

I \equiv [1,3]
  • Zeri della funzione:

Come notiamo, il valore y = 0 non appartiene in alcun modo all’immagine della funzione studiata nel punto precedente.
Possiamo concludere che la funzione non ammette zeri, perché sicuramente non esiste nessuna x che annulla la variabile y.

  • Periodo della funzione:

Per trovare il periodo della funzione, effettuiamo prima qualche semplificazione.
Se una funzione ha periodo pari a T, allora qualsiasi funzione ottenuta da essa, attraverso una traslazione verticale, continua ad avere periodo uguale a T.

Nel nostro caso possiamo concludere che:

T_{2 + \sin(5x -3)} = T_{\sin(5x -3)}

In modo analogo, se una funzione ha periodo T, allora anche qualsiasi funzione ottenuta da essa attraverso una traslazione orizzontale ha periodo T.

Dunque, nel nostro caso possiamo affermare che:

T_{\sin(5x -3)} = T_{\sin(5x)}

La funzione sin(x) è una funzione di periodo T = 2π.
In generale, la funzione sin(kx) ha periodo:

T = \frac{2\pi}{k}

Nel nostro caso abbiamo sin(5x), che ha periodo:

T_{\sin 5x} = \frac{2\pi}{5}

Possiamo dunque concludere che la nostra funzione ha periodo:

T_{2 + \sin (5x -3)} = \frac{2\pi}{5}

Per completezza, anche se non richiesto dall’esercizio, rappresentiamo il grafico della funzione:

Esercizio 2

Data la seguente funzione:

f(x) = \sin(x) +  3 \cos(3x)

Studiare il dominio, l’immagine e il periodo della funzione.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione è composta dalla somma di un seno e di un coseno.

Il dominio delle due funzioni coincide con tutto l’insieme R, dunque il dominio della funzione somma f(x) coincide anch’esso con l’insieme R.

La funzione sin(x) è sempre limitata tra [-1, 1]; possiamo quindi affermare che la funzione 3cos(3x) è limitata tra [-3, 3].

Dunque, l’immagine della funzione f(x) coincide con l’insieme:

I \equiv [-4,4]
  • Periodo della funzione:

Per trovare il periodo della somma, quoziente o prodotto di due funzioni periodiche, dobbiamo prima introdurre il concetto di minimo comune multiplo tra numeri reali.

Dati due numeri reali a,b, chiamiamo mcm il più piccolo numero reale m che differisce da a,b a meno di opportuni coefficienti interi, ovvero:

m = \text{mcm}(a,b),\\
\text{se } \exist c_a,c_b \in \mathbb{Z} | \begin{cases} 
m = c_a a\\
m = c_b b
\end{cases}

Ad esempio, se abbiamo a = 2π, b = 5π, il mcm è:

\text{mcm}(2\pi,5\pi) = 10 \pi

Se abbiamo:

a = \frac{2 \pi}{3}, b = \frac{3 \pi}{4}

Portiamo a e b a denominator comune:

a = \frac{8 \pi}{12}, b = \frac{9 \pi}{12}

Determiniamo il minimo comune multiplo tra i numeratori:

\text{mcm}(8 \pi, 9 \pi) = 72 \pi

Dunque:

\text{mcm}(a,b) = \frac{72 \pi}{12} = 6 \pi

Consideriamo ora due funzioni f(x) e g(x) di periodo Tf e Tg; in questo caso:

  • Se il rapporto tra i periodi è un numero razionale diverso da 1, allora le funzioni somma, prodotto e quoziente sono funzioni periodiche di periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi;
  • Se il rapporto tra i periodi non è un numero razionale, allora le funzioni somma, prodotto e quoziente non sono funzioni periodiche.

Con questa premessa, ritorniamo alla nostra funzione:

f(x) = \sin(x) + 3 \cos(3x)

Tale funzione è data dalla somma di due funzioni periodiche, analizziamo quindi i periodi delle singole componenti.

La funzione y1 = sin(x) ha periodo T1 = 2π.

Il periodo della funzione y2 = 3cos(3x) ha lo stesso periodo della funzione:

y_2^* = \cos(3x)

Tale periodo coincide con:

T_2 = \frac{2\pi}{3}

Il rapporto tra i periodi è:

\frac{T_1}{T_2}= 3

Che è un numero razionale.
Per trovare il periodo dobbiamo dunque calcolare il mcm tra i periodi.

Calcoliamo ora il mcm(T1, T2).

Riscriviamo:

T_1 = \frac{6 \pi}{3}, \ T_2 = \frac{2\pi}{3}

Effettuiamo il mcm tra i numeratori:

\text{mcm} (6 \pi, 2 \pi) = 6 \pi

E arriviamo a calcolare mcm(T1, T2):

\text{mcm} (T_1, T_2) = \frac{6 \pi}{3} = 2 \pi

Possiamo concludere che il periodo della nostra funzione è data dal mcm(T1, T2), ovvero T = 2π.

Per completezza, anche se non espressamente richiesto dall’esercizio, riportiamo qui il grafico della funzione proposta:

Esercizio 3

Data la seguente funzione:

f(x) = 2\sin(\pi x - 3)\cos(3x)

Studiare il dominio, l’immagine e il periodo della funzione.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione è composta dal prodotto della funzione seno e della funzione coseno.
Il dominio delle due funzioni coincide con tutto l’insieme R, dunque il dominio della funzione f(x) coincide anch’esso con l’insieme R.

Per quanto riguarda l’immagine, entrambe le funzioni sono limitate tra [-1, 1]. Poiché vi è un “2” come fattore moltiplicativo, possiamo concludere che l’immagine della funzione coincide con l’insieme:

I \equiv (-2,2)
  • Periodo della funzione:

Come visto nel punto precedente, la funzione è il risultato del prodotto di due funzioni periodiche.
Per questo motivo ricaviamo prima il periodo delle singole funzioni.

Per il periodo della funzione sin(πx – 3), notiamo che il periodo è lo stesso della funzione:

y = \sin (\pi x )

Il periodo di quest’ultima è:

T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2

Il periodo della funzione cos(3x) è:

T_2 = \frac{2\pi}{3}

Facciamo il rapporto tra i periodi:

\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\cdot 3}{2\pi} = \frac{3}{\pi}

Il rapporto ottenuto non è un numero razionale, dunque la funzione non è periodica.

Riportiamo qui di seguito il grafico della funzione proposta, anche se non richiesto esplicitamente dal testo dell’esercizio:

Esercizio 4

Data la seguente funzione:

f(x) = 4 \cos [ \sin(3x -5) + 4]

Studiarne dominio, immagine e periodo.

Svolgimento

  • Dominio e immagine:

La funzione proposta è data dalla composizione delle funzioni:

{\small h(x) = \cos(x), t(x) = \sin(3x -5) + 4}\\
{\small f(x) = 4\ h(t(x))}

Entrambe le funzioni h(x), t(x) hanno dominio coincidente con l’insieme R.
Possiamo dunque concludere che la funzione f(x) ha anch’essa dominio coincidente con tutto l’insieme R.

Studiamo ora l’immagine della nostra funzione.
Poichè l’immagine di h(x) è l’insieme:

I \equiv [-1,1]

L’immagine della funzione f(x) coincide con quella dell’insieme I.

  • Periodo della funzione:

Per valutare il periodo della funzione, consideriamo il seguente teorema:

Date due funzioni f(x) non necessariamente periodica e g(x) periodica di periodo Tg, allora la funzione:

h = f(g(x))

è periodica di periodo Tg

Nel nostro caso, entrambe le funzioni sono periodiche, dunque per trovare il periodo di f(x) basterà trovare il periodo della funzione:

t(x) = \sin(3x - 5) + 4

Semplifichiamo la funzione attraverso trasformazioni geometriche.
Il periodo della funzione non cambia se effettuiamo una traslazione lungo l’asse y, spostandoci di 4 unità verso il basso, applicando quindi un -4 alla funzione di partenza:

t_1(x) = \sin(3x - 5) 

Possiamo inoltre effettuare una traslazione lungo l’asse delle x (anche questa trasformazione non cambia il periodo della funzione), ottenendo:

t_2(x) = \sin(3x) 

Abbiamo ottenuto una funzione di periodo:

T= \frac{2\pi}{3}

Possiamo quindi concludere, sfruttando il teorema enunciato prima, che la funzione f(x) ha periodo:

T= \frac{2\pi}{3}

Per approfondimento, pur non essendo richiesto, rappresentiamo il grafico della funzione:

Spero che gli esercizi offerti qui abbiano migliorato la tua comprensione dell’argomento.

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