Funzioni crescenti e decrescenti

In questa lezione andremo ad analizzare diverse funzioni studiandone la monotonia, andando cioè a capire gli intervalli in cui essa è crescente o decrescente, all’interno del suo dominio.

Studiare la monotonia di una funzione in base al grafico

Esercizio 1

Dato il grafico della seguente funzione:

Stabilire gli intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente o costante.

Svolgimento

Ricordiamo il significato di funzione crescente, decrescente o costante.
Una funzione è costante in un intervallo [a, b] se per ogni punto dell’intervallo la funzione assume lo stesso valore, ovvero:

\forall x_0 \in [a,b], \quad f(x_0) = k \in \mathbb{R}

Ovviamente l’intervallo considerato deve essere incluso nel dominio della funzione.

Un esempio di funzione costante è f(x) = 1.
Cosa vuol dire, graficamente, affermare che una funzione è costante in un dato intervallo?

Una funzione costante è una retta, semiretta o segmento, parallela all’asse delle x.

Una funzione è invece crescente se al crescere della variabile x, cresce anche il valore della funzione, ovvero:

\forall x_0,x_1 \in [a,b]\ |\  x_0 < x_1,

f(x_0) < f(x_1)

Un esempio di funzione crescente è f(x) = x.

Una funzione è infine decrescente se al crescere della variabile x, decresce il valore della funzione, ovvero:

\forall x_0,x_1 \in [a,b]\ |\  x_0 < x_1,

f(x_0)>f(x_1)

Un esempio di funzione decrescente è la funzione f(x) = -x.

La funzione f(x) = x² risulta crescente nell’intervallo [0, + ∞), decrescente invece in (- ∞, 0).

Graficamente ci aspettiamo che una funzione sia crescente se i valori sulle y diventano sempre maggiori guardando la funzione da sinistra a destra, decrescente invece se i valori delle y diventano sempre minori.

Dopo aver ripassato il significato di funzione crescente e decrescente, osserviamo ora il grafico della nostra funzione: nell’intervallo [-3, -1) la funzione risulta essere una retta con coefficiente angolare negativo, per questo motivo è decrescente.

In [-1, 2) la funzione è una retta parallela alle ascisse, dunque è costante.
In [2, + ∞) la funzione è una retta che cresce al crescere dei valori della x, per questo motivo la funzione è crescente.

Ricapitoliamo:

{\small f(x) =\begin{cases}
\text{decrescente} & -3\leq x <-1\\
\text{costante}& -1\leq x <2\\
\text{crescente}& x\geq2
\end{cases}}

Esercizio 2

Dato il grafico della seguente funzione:

Stabilire gli intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente o costante.

Svolgimento

Guardiamo la funzione da sinistra a destra e vediamo in quali intervalli la funzione cresce o decresce.
Facendo un’analisi molto grossolana, notiamo che la funzione decresce, cresce e poi decresce di nuovo.

Individuiamo ora gli intervalli di monotonia; la funzione risulta decrescente nell’intervallo (- ∞, -2], successivamente cresce nell’intervallo (-2, 0] e decresce negli intervalli successivi (0, 2] e (2, + ∞).

Riepilogando:

f(x) =\begin{cases}
\text{decresce} & x \leq -2\\
\text{cresce}& -2\lt x \leq 0\\
\text{decresce}& x\gt0
\end{cases}

Approfondimento -> In questi casi, in assenza di indicazioni specifiche, risulta indifferente l’intervallo in cui decidiamo di inserire i punti estremi della funzione.

Ad esempio, in questo caso il punto:

(-2,e^{-2})

È stato incluso nell’intervallo immediatamente alla sua sinistra, ma poteva essere tranquillamente inserito nell’intervallo alla sua destra.

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Dimostrare la monotonia delle funzioni

Esercizio 1

Dimostrare che la funzione:

y = 5x -1

è crescente in R.

Svolgimento

Ricordiamo la definizione di funzione crescente (in senso stretto):

\forall x_0,x_1 \in [a,b]\ |\  x_0 < x_1,

f(x_0) < f(x_1)

Per dimostrare la monotonia di una funzione data, bisogna andare a sostituire i valori x₀ e x₁ all’interno della disequazione appena citata:

f(x_0) < f(x_1)

5x_0 -1 < 5 x_1 -1

Semplifichiamo le costanti:

5x_0 < 5 x_1

A questo punto possiamo dividere ambo i lati per il coefficiente 5:

x_0 <  x_1

La relazione ottenuta è quella che cercavamo, perfettamente coerente con la definizione di funzione crescente esposta prima; abbiamo dunque dimostrato che la funzione proposta è crescente per qualsiasi valore in R.

Approfondimento -> Qualora l’ultima relazione trovata fosse risultata:

x_0 >  x_1

Allora la funzione sarebbe stata decrescente in senso stretto.

Esercizio 2

Dimostrare che la funzione:

y = x^3 + 8

è crescente in R.

Svolgimento

Ricorrendo alla definizione di funzione crescente, andiamo a sostituire i valori x₀ e x₁ all’interno della disequazione, così come abbiamo fatto nell’esercizio precedente:

x_0^3 + 8 < x_1^3 + 8

Semplifichiamo i termini noti:

x_0^3 < x_1^3

Possiamo tranquillamente semplificare i cubi applicando la radice cubica ad ambo i membri:

x_0 < x_1

Il risultato ottenuto è coerente con la definizione di funzione crescente.

Esercizio 3

Dimostrare che la seguente funzione:

y = -3\sqrt{2x}

È decrescente nel suo dominio.

Svolgimento

Prima di procedere con la dimostrazione, troviamo innanzitutto il dominio della nostra funzione; poiché essa è una funzione irrazionale con esponente pari, il dominio è dato dall’insieme dei valori che rendono l’argomento della radice maggiore o uguale a 0.
Nel nostro caso dobbiamo imporre:

2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0

A questo punto verifichiamo che la funzione è decrescente; siano x₀, x₁ due numeri che appartengono al dominio della nostra funzione:

-3 \sqrt{2x_0} < -3 \sqrt{2x_1}

Dividiamo tutto per il coefficiente -3 e cambiamo segno:

\sqrt{2x_0} >  \sqrt{2x_1}

Sappiamo per certo, avendolo dichiarato prima, che i numeri all’interno delle radici appartengono al dominio della funzione. Possiamo quindi affermare con sicurezza che l’argomento di entrambe le radici è sicuramente positivo.

In questo caso possiamo allora elevare tranquillamente al quadrato entrambi i membri:

2x_0 >  2x_1

Semplifichiamo i coefficienti e otteniamo:

x_0 >  x_1

La relazione ottenuta è quella coerente con la definizione di funzione decrescente (valida ovviamente solo per valori all’interno del dominio).

Inventare una funzione con condizioni assegnate

Esercizio 1

Trovare una funzione tale che:

• Abbia una e una sola radice (o zero);
• Sia limitata inferiormente, ma non superiormente;
• Sia sempre crescente.

Svolgimento

Esistono infinite funzioni che soddisfano le condizioni assegnate, proviamo a inventarne una abbastanza semplice.
Vediamo gli ultimi due punti: limitata inferiormente, ma non superiormente e sempre crescente.

Prova a immaginarti questa funzione; deve crescere sempre, avere un limite inferiore sotto al quale non andare mai e non avere alcun limite superiore.
Una funzione elementare che ci viene in mente e che soddisfa questo vincolo è ad esempio la radice quadrata:

y = \sqrt{x}

Verifichiamo che tale funzione soddisfi anche la prima condizione, cioè quella per cui deve avere un’unica radice (detta anche zero della funzione, inteso come il solo valore che la annulla).

In questo caso, tracciando il grafico della funzione, notiamo che essa rispetta anche questo vincolo, intersecando l’asse x in un solo e unico punto:

Esercizio 2

Trovare una funzione tale che:

• Sia limitata sia inferiormente che superiormente;
• Il suo dominio sia [-2, 2];
• Abbia un solo zero;
• Sia crescente nell’intervallo [0, 2], decrescente invece in [-2, 0].

Svolgimento

Anche in questo caso abbiamo molteplici funzioni che soddisfano i requisiti richiesti. Ti mostrerò come ricavarne una molto semplice.

È importante prima di tutto avere in mente una prima bozza del grafico della funzione che possa rispettare i vincoli dati. In questo modo ricavare la forma analitica sarà più semplice.

Partiamo dal dominio, vogliamo che il dominio sia [-2, 2]; una funzione che sicuramente presenta questo dominio e al tempo stesso rispetta gli intervalli di monotonia imposti, nonché i limiti superiori e inferiori, è ad esempio la semicirconferenza:

f(x) = - \sqrt{4 - x^2}

Ma tale funzione presenta due zeri distinti e non uno come richiesto.

Proviamo allora un’alternativa migliore; possiamo considerare una funzione che abbia dominio coincidente con R e restringere il campo di esistenza all’intervallo richiesto, mantenendo valide tutte le altre condizioni.

Analizziamo l’intervallo in cui la funzione deve essere crescente/decrescente e focalizziamoci sul vincolo di avere un’unica radice.

La funzione deve decrescere nell’intervallo [-2, 0], per poi risalire verso l’alto in [0, 2]. Poiché deve avere anche un unico zero, possiamo richiedere che tale zero sia nel punto x = 0.
Pensiamo ora alla funzione più semplice che risulta decrescente; se ci riflettiamo un attimo essa è proprio y = -x, la più semplice funzione crescente invece è y = x.

La funzione che soddisfa queste condizioni è la seguente:

f(x) = 
\begin{cases}
x & \text{se } 0\leq x \leq 2 \\
-x & \text{se } -2 \leq x <0
\end{cases}

Abbiamo quindi definito una funzione a tratti, con dominio ristretto all’intervallo richiesto dall’esercizio, cioè [-2, 2].

Facendo ciò abbiamo ottenuto anche l’ulteriore vantaggio di aver limitato la funzione sia inferiormente che superiormente rispetto alle y, avendo limitato al dominio le due semirette, -x e x, che normalmente avrebbero reso la funzione illimitata.

Come avrai notato, la funzione scelta coincide con la funzione valore assoluto:

y = |x|

Ristretta nel dominio [-2, 2]:

Esercizio 3

Trovare una funzione tale che:

• L’immagine sia compresa nell’intervallo [2, 5];
• Sia crescente ma non in senso stretto;
• Il dominio coincide con R.

Svolgimento

Concentriamoci prima di tutto sul significato della seconda condizione: “crescente ma non in senso stretto”. Una funzione è crescente in senso stretto se cresce sempre, senza rimanere mai su un valore costante, secondo la definizione:

\forall x_0,x_1 \in [a,b]\ |\  x_0 < x_1,

f(x_0)< f(x_1)

Poiché noi vogliamo che sia crescente, ma non in senso stretto nel suo dominio, la funzione dovrà avere almeno un intervallo dove sia costante. Tale condizione deve seguire quindi la definizione di funzione crescente non in senso stretto:

\forall x_0,x_1 \in [a,b]\ |\  x_0 < x_1,

f(x_0)\leq f(x_1)

Possiamo pensare a una funzione che rimanga costante sul valore 2, cresca in un intervallo fino ad assumere il valore 5, per poi rimanere di nuovo costante all’infinito. Un esempio potrebbe essere:

f(x) = 
\begin{cases}
2 & \text{se } x \leq 0 \\
x + 2 & \text{se } 0< x < 3 \\
5 & \text{se } x \geq 3
\end{cases}

Tale funzione, infatti, presenta dominio coincidente con R, è limitata tra i valori di immagine richiesti e cresce sempre ma non in senso stretto:

Disegnare la funzione e studiare la monotonia dal disegno

Esercizio 1

Data la forma analitica della seguente funzione:

y = x^2 -3x - 10

Fare il grafico, da questo indicare eventuali zeri della funzione, gli intervalli in cui è crescente o decrescente e studiare il segno della funzione.
La funzione è iniettiva?

Svolgimento

La funzione proposta è una parabola.
Ricordiamo che una parabola di equazione:

y = ax^2 +bx +c

ha vertice nel punto:

V = \left( - \frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a}\right)

fuoco in:

F = \left( - \frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right)

e asse di equazione:

x = - \frac{b}{2a}

Nel nostro caso:

V = \left( \frac{3}{2}, - \frac{49}{4}\right)

F = \left( \frac{3}{2}, -12 \right)

x = \frac{3}{2}

Possiamo disegnare la nostra funzione:

La funzione presenta due zeri nei punti -2 e 5, è limitata inferiormente (con minimo nel vertice) ed è crescente nell’intervallo:

\left[ \frac{3}{2}, + \infty \right)

Decrescente in:

\left( - \infty, \frac{3}{2} \right)

Positiva in:

( -\infty, -2) \cup [5, + \infty)

E infine negativa in:

[-2,5)

Come possiamo vedere, la nostra funzione non è iniettiva in quanto simmetrica rispetto alla retta di equazione:

x = \frac{3}{2}

Per questo motivo, quindi, esistono (tranne che per il vertice) infinite coppie di ascisse a ciascuna delle quali è associata la stessa immagine y.

Esercizio 2

Data la forma analitica della seguente funzione:

f(x) = 
\begin{cases}
x-3 & \text{se } 0 \leq x \leq 3 \\
-x + 5 & \text{se } 3< x \leq4 \\
\end{cases}

Disegnare la funzione, indicare eventuali zeri, gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente e studiare il segno della funzione.
La funzione risulta iniettiva?

Svolgimento

Il disegno di questa funzione è abbastanza semplice: è una funzione definita a tratti, nel primo intervallo [0, 3] coincide con una retta di coefficiente angolare positivo e ordinata all’origine in y = -3.

Nel secondo intervallo (3, 4] abbiamo una retta con coefficiente angolare negativo e quindi decrescente nel suo dominio.

Tracciando il grafico:

Dal grafico della funzione possiamo notare come globalmente essa non sia né strettamente crescente né decrescente, poiché nel primo intervallo cresce per poi decrescere nel secondo tratto.

La funzione inoltre ha una sola radice (ovvero intercetta l’asse delle x) in x = 3.
La funzione è negativa nell’intervallo [-3, 3], positiva in (3, 4].
Essa, infine, assume sempre valori di ordinata y diversi per diversi valori della x, per questo motivo la funzione risulta iniettiva.

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